Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105967 / 44914
↖ ↑ ↗
← N 49.178112°
E111.047058°		 ← 199.66 m → N 49.178112°
E111.049805°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
N 49.176317°
E111.047058°		 ← 199.67 m →
39 853 m²		 N 49.176317°
E111.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808467864990234 y=0.342670440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808467864990234 × 217)
    floor (0.808467864990234 × 131072)
    floor (105967.5)     		tx = 105967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342670440673828 × 217)
    floor (0.342670440673828 × 131072)
    floor (44914.5)     		ty = 44914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105967 / 44914 ti = "17/105967/44914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105967/44914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105967 ÷ 217
    105967 ÷ 131072     		x = 0.808464050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44914 ÷ 217
    44914 ÷ 131072     		y = 0.342666625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808464050292969 × 2 - 1) × π
    0.616928100585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.93813679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342666625976562 × 2 - 1) × π
    0.314666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.988554743964798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93813679} λ = 1.93813679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988554743964798))-π/2
    2×atan(2.68734775881059)-π/2
    2×1.21455815563444-π/2
    2.42911631126888-1.57079632675     		φ = 0.85831998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93813679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.047058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85831998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.178112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105967 KachelY 44914 1.93813679 0.85831998 111.047058 49.178112
    Oben rechts KachelX + 1 105968 KachelY 44914 1.93818473 0.85831998 111.049805 49.178112
    Unten links KachelX 105967 KachelY + 1 44915 1.93813679 0.85828865 111.047058 49.176317
    Unten rechts KachelX + 1 105968 KachelY + 1 44915 1.93818473 0.85828865 111.049805 49.176317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85831998-0.85828865) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85831998-0.85828865) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93813679-1.93818473) × cos(0.85831998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653709737486184 × 6371000     		do = 199.659780316792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93813679-1.93818473) × cos(0.85828865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65373344599829 × 6371000     		du = 199.667021506647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85831998)-sin(0.85828865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653709737486184-0.65373344599829)×R²
    abs(1.93818473-1.93813679)×2.3708512106535e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3708512106535e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3708512106535e-05×40589641000000     		ar = 39853.4996707681m²