Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105966 / 43631
↖ ↑ ↗
← N 51.428327°
E111.044311°		 ← 190.43 m → N 51.428327°
E111.047058°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
N 51.426615°
E111.044311°		 ← 190.44 m →
36 264 m²		 N 51.426615°
E111.047058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808460235595703 y=0.332881927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808460235595703 × 217)
    floor (0.808460235595703 × 131072)
    floor (105966.5)     		tx = 105966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332881927490234 × 217)
    floor (0.332881927490234 × 131072)
    floor (43631.5)     		ty = 43631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105966 / 43631 ti = "17/105966/43631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105966/43631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105966 ÷ 217
    105966 ÷ 131072     		x = 0.808456420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43631 ÷ 217
    43631 ÷ 131072     		y = 0.332878112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808456420898438 × 2 - 1) × π
    0.616912841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93808885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332878112792969 × 2 - 1) × π
    0.334243774414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.05005778617733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93808885} λ = 1.93808885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05005778617733))-π/2
    2×atan(2.85781625556871)-π/2
    2×1.234194980896-π/2
    2.468389961792-1.57079632675     		φ = 0.89759364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93808885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.044311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89759364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.428327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105966 KachelY 43631 1.93808885 0.89759364 111.044311 51.428327
    Oben rechts KachelX + 1 105967 KachelY 43631 1.93813679 0.89759364 111.047058 51.428327
    Unten links KachelX 105966 KachelY + 1 43632 1.93808885 0.89756375 111.044311 51.426615
    Unten rechts KachelX + 1 105967 KachelY + 1 43632 1.93813679 0.89756375 111.047058 51.426615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89759364-0.89756375) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89759364-0.89756375) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93808885-1.93813679) × cos(0.89759364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623493133257078 × 6371000     		do = 190.430851609837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93808885-1.93813679) × cos(0.89756375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623516501842158 × 6371000     		du = 190.437988977228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89759364)-sin(0.89756375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623493133257078-0.623516501842158)×R²
    abs(1.93813679-1.93808885)×2.33685850802301e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33685850802301e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33685850802301e-05×40589641000000     		ar = 36264.2724074827m²