Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105965 / 43510
↖ ↑ ↗
← N 51.635067°
E111.041565°		 ← 189.57 m → N 51.635067°
E111.044311°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 51.633362°
E111.041565°		 ← 189.58 m →
35 943 m²		 N 51.633362°
E111.044311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808452606201172 y=0.331958770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808452606201172 × 217)
    floor (0.808452606201172 × 131072)
    floor (105965.5)     		tx = 105965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331958770751953 × 217)
    floor (0.331958770751953 × 131072)
    floor (43510.5)     		ty = 43510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105965 / 43510 ti = "17/105965/43510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105965/43510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105965 ÷ 217
    105965 ÷ 131072     		x = 0.808448791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43510 ÷ 217
    43510 ÷ 131072     		y = 0.331954956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808448791503906 × 2 - 1) × π
    0.616897583007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.93804091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331954956054688 × 2 - 1) × π
    0.336090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05585815103136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93804091} λ = 1.93804091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05585815103136))-π/2
    2×atan(2.87444080013882)-π/2
    2×1.23599912691157-π/2
    2.47199825382313-1.57079632675     		φ = 0.90120193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93804091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.041565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90120193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.635067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105965 KachelY 43510 1.93804091 0.90120193 111.041565 51.635067
    Oben rechts KachelX + 1 105966 KachelY 43510 1.93808885 0.90120193 111.044311 51.635067
    Unten links KachelX 105965 KachelY + 1 43511 1.93804091 0.90117217 111.041565 51.633362
    Unten rechts KachelX + 1 105966 KachelY + 1 43511 1.93808885 0.90117217 111.044311 51.633362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90120193-0.90117217) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90120193-0.90117217) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93804091-1.93808885) × cos(0.90120193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620668015384935 × 6371000     		do = 189.567987893151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93804091-1.93808885) × cos(0.90117217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620691349136707 × 6371000     		du = 189.575114621553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90120193)-sin(0.90117217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620668015384935-0.620691349136707)×R²
    abs(1.93808885-1.93804091)×2.33337517719923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33337517719923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33337517719923e-05×40589641000000     		ar = 35942.948109758m²