Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105964 / 52716
↖ ↑ ↗
← N 33.183537°
E111.038818°		 ← 255.56 m → N 33.183537°
E111.041565°		 →
↑
255.60 m
↓
↑
255.60 m
↓
N 33.181238°
E111.038818°		 ← 255.57 m →
65 324 m²		 N 33.181238°
E111.041565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808444976806641 y=0.402194976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808444976806641 × 217)
    floor (0.808444976806641 × 131072)
    floor (105964.5)     		tx = 105964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402194976806641 × 217)
    floor (0.402194976806641 × 131072)
    floor (52716.5)     		ty = 52716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105964 / 52716 ti = "17/105964/52716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105964/52716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105964 ÷ 217
    105964 ÷ 131072     		x = 0.808441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52716 ÷ 217
    52716 ÷ 131072     		y = 0.402191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808441162109375 × 2 - 1) × π
    0.61688232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93799298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402191162109375 × 2 - 1) × π
    0.19561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.61455105312912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93799298} λ = 1.93799298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.61455105312912))-π/2
    2×atan(1.84882638839005)-π/2
    2×1.0749791500783-π/2
    2.1499583001566-1.57079632675     		φ = 0.57916197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93799298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.038818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57916197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.183537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105964 KachelY 52716 1.93799298 0.57916197 111.038818 33.183537
    Oben rechts KachelX + 1 105965 KachelY 52716 1.93804091 0.57916197 111.041565 33.183537
    Unten links KachelX 105964 KachelY + 1 52717 1.93799298 0.57912185 111.038818 33.181238
    Unten rechts KachelX + 1 105965 KachelY + 1 52717 1.93804091 0.57912185 111.041565 33.181238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57916197-0.57912185) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dl = 255.604519999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57916197-0.57912185) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dr = 255.604519999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93799298-1.93804091) × cos(0.57916197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.83692161663973 × 6371000     		do = 255.564083808146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93799298-1.93804091) × cos(0.57912185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836943574555441 × 6371000     		du = 255.570788921862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57916197)-sin(0.57912185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83692161663973-0.836943574555441)×R²
    abs(1.93804091-1.93799298)×2.19579157109129e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19579157109129e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19579157109129e-05×40589641000000     		ar = 65324.1919082259m²