Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105962 / 43508
↖ ↑ ↗
← N 51.638476°
E111.033325°		 ← 189.55 m → N 51.638476°
E111.036072°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 51.636772°
E111.033325°		 ← 189.56 m →
35 928 m²		 N 51.636772°
E111.036072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808429718017578 y=0.331943511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808429718017578 × 217)
    floor (0.808429718017578 × 131072)
    floor (105962.5)     		tx = 105962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331943511962891 × 217)
    floor (0.331943511962891 × 131072)
    floor (43508.5)     		ty = 43508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105962 / 43508 ti = "17/105962/43508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105962/43508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105962 ÷ 217
    105962 ÷ 131072     		x = 0.808425903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43508 ÷ 217
    43508 ÷ 131072     		y = 0.331939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808425903320312 × 2 - 1) × π
    0.616851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93789710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331939697265625 × 2 - 1) × π
    0.33612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0559540248306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93789710} λ = 1.93789710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0559540248306))-π/2
    2×atan(2.87471639691006)-π/2
    2×1.23602887869374-π/2
    2.47205775738749-1.57079632675     		φ = 0.90126143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93789710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.033325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90126143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.638476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105962 KachelY 43508 1.93789710 0.90126143 111.033325 51.638476
    Oben rechts KachelX + 1 105963 KachelY 43508 1.93794504 0.90126143 111.036072 51.638476
    Unten links KachelX 105962 KachelY + 1 43509 1.93789710 0.90123168 111.033325 51.636772
    Unten rechts KachelX + 1 105963 KachelY + 1 43509 1.93794504 0.90123168 111.036072 51.636772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90126143-0.90123168) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dl = 189.537250000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90126143-0.90123168) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dr = 189.537250000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93789710-1.93794504) × cos(0.90126143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620621361914522 × 6371000     		do = 189.553738722426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93789710-1.93794504) × cos(0.90123168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620644688924383 × 6371000     		du = 189.560863391675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90126143)-sin(0.90123168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620621361914522-0.620644688924383)×R²
    abs(1.93794504-1.93789710)×2.33270098611849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33270098611849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33270098611849e-05×40589641000000     		ar = 35928.1695624185m²