Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105962 / 43507
↖ ↑ ↗
← N 51.640181°
E111.033325°		 ← 189.55 m → N 51.640181°
E111.036072°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 51.638476°
E111.033325°		 ← 189.55 m →
35 927 m²		 N 51.638476°
E111.036072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808429718017578 y=0.331935882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808429718017578 × 217)
    floor (0.808429718017578 × 131072)
    floor (105962.5)     		tx = 105962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331935882568359 × 217)
    floor (0.331935882568359 × 131072)
    floor (43507.5)     		ty = 43507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105962 / 43507 ti = "17/105962/43507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105962/43507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105962 ÷ 217
    105962 ÷ 131072     		x = 0.808425903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43507 ÷ 217
    43507 ÷ 131072     		y = 0.331932067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808425903320312 × 2 - 1) × π
    0.616851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93789710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331932067871094 × 2 - 1) × π
    0.336135864257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05600196173022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93789710} λ = 1.93789710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05600196173022))-π/2
    2×atan(2.87485420520444)-π/2
    2×1.23604375374613-π/2
    2.47208750749227-1.57079632675     		φ = 0.90129118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93789710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.033325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90129118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.640181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105962 KachelY 43507 1.93789710 0.90129118 111.033325 51.640181
    Oben rechts KachelX + 1 105963 KachelY 43507 1.93794504 0.90129118 111.036072 51.640181
    Unten links KachelX 105962 KachelY + 1 43508 1.93789710 0.90126143 111.033325 51.638476
    Unten rechts KachelX + 1 105963 KachelY + 1 43508 1.93794504 0.90126143 111.036072 51.638476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90129118-0.90126143) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dl = 189.537249999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90129118-0.90126143) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dr = 189.537249999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93789710-1.93794504) × cos(0.90129118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620598034355372 × 6371000     		do = 189.546613885411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93789710-1.93794504) × cos(0.90126143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620621361914522 × 6371000     		du = 189.553738722426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90129118)-sin(0.90126143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620598034355372-0.620621361914522)×R²
    abs(1.93794504-1.93789710)×2.33275591499105e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33275591499105e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33275591499105e-05×40589641000000     		ar = 35926.8191564354m²