Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105961 / 43509
↖ ↑ ↗
← N 51.636772°
E111.030579°		 ← 189.52 m → N 51.636772°
E111.033325°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 51.635067°
E111.030579°		 ← 189.53 m →
35 922 m²		 N 51.635067°
E111.033325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808422088623047 y=0.331951141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808422088623047 × 217)
    floor (0.808422088623047 × 131072)
    floor (105961.5)     		tx = 105961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331951141357422 × 217)
    floor (0.331951141357422 × 131072)
    floor (43509.5)     		ty = 43509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105961 / 43509 ti = "17/105961/43509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105961/43509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105961 ÷ 217
    105961 ÷ 131072     		x = 0.808418273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43509 ÷ 217
    43509 ÷ 131072     		y = 0.331947326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808418273925781 × 2 - 1) × π
    0.616836547851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.93784917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331947326660156 × 2 - 1) × π
    0.336105346679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.05590608793098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93784917} λ = 1.93784917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05590608793098))-π/2
    2×atan(2.87457859522162)-π/2
    2×1.23601400308222-π/2
    2.47202800616445-1.57079632675     		φ = 0.90123168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93784917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.030579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90123168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.636772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105961 KachelY 43509 1.93784917 0.90123168 111.030579 51.636772
    Oben rechts KachelX + 1 105962 KachelY 43509 1.93789710 0.90123168 111.033325 51.636772
    Unten links KachelX 105961 KachelY + 1 43510 1.93784917 0.90120193 111.030579 51.635067
    Unten rechts KachelX + 1 105962 KachelY + 1 43510 1.93789710 0.90120193 111.033325 51.635067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90123168-0.90120193) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dl = 189.537249999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90123168-0.90120193) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dr = 189.537249999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93784917-1.93789710) × cos(0.90123168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620644688924383 × 6371000     		do = 189.521322118784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93784917-1.93789710) × cos(0.90120193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.620668015384935 × 6371000     		du = 189.528445134131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90123168)-sin(0.90120193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620644688924383-0.620668015384935)×R²
    abs(1.93789710-1.93784917)×2.33264605519201e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33264605519201e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33264605519201e-05×40589641000000     		ar = 35922.0252516803m²