Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105937 / 43057
↖ ↑ ↗
← N 52.400743°
E110.964661°		 ← 186.35 m → N 52.400743°
E110.967407°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
N 52.399067°
E110.964661°		 ← 186.36 m →
34 727 m²		 N 52.399067°
E110.967407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808238983154297 y=0.328502655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808238983154297 × 217)
    floor (0.808238983154297 × 131072)
    floor (105937.5)     		tx = 105937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328502655029297 × 217)
    floor (0.328502655029297 × 131072)
    floor (43057.5)     		ty = 43057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105937 / 43057 ti = "17/105937/43057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105937/43057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105937 ÷ 217
    105937 ÷ 131072     		x = 0.808235168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43057 ÷ 217
    43057 ÷ 131072     		y = 0.328498840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808235168457031 × 2 - 1) × π
    0.616470336914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.93669868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328498840332031 × 2 - 1) × π
    0.343002319335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07757356655924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93669868} λ = 1.93669868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07757356655924))-π/2
    2×atan(2.93754314364066)-π/2
    2×1.24268091235835-π/2
    2.4853618247167-1.57079632675     		φ = 0.91456550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93669868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.964661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91456550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.400743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105937 KachelY 43057 1.93669868 0.91456550 110.964661 52.400743
    Oben rechts KachelX + 1 105938 KachelY 43057 1.93674662 0.91456550 110.967407 52.400743
    Unten links KachelX 105937 KachelY + 1 43058 1.93669868 0.91453625 110.964661 52.399067
    Unten rechts KachelX + 1 105938 KachelY + 1 43058 1.93674662 0.91453625 110.967407 52.399067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91456550-0.91453625) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dl = 186.351749999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91456550-0.91453625) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dr = 186.351749999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93669868-1.93674662) × cos(0.91456550) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.610134886304355 × 6371000     		do = 186.350899150064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93669868-1.93674662) × cos(0.91453625) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.610158060746921 × 6371000     		du = 186.357977221334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91456550)-sin(0.91453625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610134886304355-0.610158060746921)×R²
    abs(1.93674662-1.93669868)×2.3174442565832e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.3174442565832e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.3174442565832e-05×40589641000000     		ar = 34727.4756784463m²