Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105931 / 44243
↖ ↑ ↗
← N 50.368241°
E110.948181°		 ← 194.82 m → N 50.368241°
E110.950928°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 50.366489°
E110.948181°		 ← 194.82 m →
37 956 m²		 N 50.366489°
E110.950928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808193206787109 y=0.337551116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808193206787109 × 217)
    floor (0.808193206787109 × 131072)
    floor (105931.5)     		tx = 105931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337551116943359 × 217)
    floor (0.337551116943359 × 131072)
    floor (44243.5)     		ty = 44243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105931 / 44243 ti = "17/105931/44243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105931/44243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105931 ÷ 217
    105931 ÷ 131072     		x = 0.808189392089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44243 ÷ 217
    44243 ÷ 131072     		y = 0.337547302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808189392089844 × 2 - 1) × π
    0.616378784179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.93641106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337547302246094 × 2 - 1) × π
    0.324905395507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02072040360986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93641106} λ = 1.93641106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02072040360986))-π/2
    2×atan(2.77519330327412)-π/2
    2×1.22494398275907-π/2
    2.44988796551814-1.57079632675     		φ = 0.87909164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93641106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.948181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87909164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.368241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105931 KachelY 44243 1.93641106 0.87909164 110.948181 50.368241
    Oben rechts KachelX + 1 105932 KachelY 44243 1.93645900 0.87909164 110.950928 50.368241
    Unten links KachelX 105931 KachelY + 1 44244 1.93641106 0.87906106 110.948181 50.366489
    Unten rechts KachelX + 1 105932 KachelY + 1 44244 1.93645900 0.87906106 110.950928 50.366489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87909164-0.87906106) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87909164-0.87906106) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93641106-1.93645900) × cos(0.87909164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637850989607953 × 6371000     		do = 194.816110510613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93641106-1.93645900) × cos(0.87906106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637874540796345 × 6371000     		du = 194.823303649756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87909164)-sin(0.87906106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637850989607953-0.637874540796345)×R²
    abs(1.93645900-1.93641106)×2.35511883922568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35511883922568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35511883922568e-05×40589641000000     		ar = 37955.784502421m²