Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10593 / 5727
↖ ↑ ↗
← N 81.440954°
W121.810913°		 ← 90.91 m → N 81.440954°
W121.805420°		 →
↑
90.91 m
↓
↑
90.91 m
↓
N 81.440137°
W121.810913°		 ← 90.92 m →
8 266 m²		 N 81.440137°
W121.805420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161643981933594 y=0.0873947143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161643981933594 × 216)
    floor (0.161643981933594 × 65536)
    floor (10593.5)     		tx = 10593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0873947143554688 × 216)
    floor (0.0873947143554688 × 65536)
    floor (5727.5)     		ty = 5727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10593 / 5727 ti = "16/10593/5727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10593/5727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10593 ÷ 216
    10593 ÷ 65536     		x = 0.161636352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5727 ÷ 216
    5727 ÷ 65536     		y = 0.0873870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161636352539062 × 2 - 1) × π
    -0.676727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12600150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0873870849609375 × 2 - 1) × π
    0.825225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59252340525188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12600150} λ = -2.12600150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59252340525188))-π/2
    2×atan(13.3634504937392)-π/2
    2×1.49610456297224-π/2
    2.99220912594448-1.57079632675     		φ = 1.42141280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12600150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.810913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42141280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.440954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10593 KachelY 5727 -2.12600150 1.42141280 -121.810913 81.440954
    Oben rechts KachelX + 1 10594 KachelY 5727 -2.12590562 1.42141280 -121.805420 81.440954
    Unten links KachelX 10593 KachelY + 1 5728 -2.12600150 1.42139853 -121.810913 81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 10594 KachelY + 1 5728 -2.12590562 1.42139853 -121.805420 81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42141280-1.42139853) × R
    1.42699999998719e-05 × 6371000     		dl = 90.9141699991838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42141280-1.42139853) × R
    1.42699999998719e-05 × 6371000     		dr = 90.9141699991838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12600150--2.12590562) × cos(1.42141280) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148828553240505 × 6371000     		do = 90.9121420131618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12600150--2.12590562) × cos(1.42139853) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 90.920761775087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42141280)-sin(1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148828553240505-0.14884266430057)×R²
    abs(-2.12590562--2.12600150)×1.41110600652417e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41110600652417e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41110600652417e-05×40589641000000     		ar = 8265.59376315065m²