Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105920 / 43328
↖ ↑ ↗
← N 51.944265°
E110.917969°		 ← 188.27 m → N 51.944265°
E110.920715°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 51.942572°
E110.917969°		 ← 188.28 m →
35 445 m²		 N 51.942572°
E110.920715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808109283447266 y=0.330570220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808109283447266 × 217)
    floor (0.808109283447266 × 131072)
    floor (105920.5)     		tx = 105920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330570220947266 × 217)
    floor (0.330570220947266 × 131072)
    floor (43328.5)     		ty = 43328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105920 / 43328 ti = "17/105920/43328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105920/43328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105920 ÷ 217
    105920 ÷ 131072     		x = 0.80810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43328 ÷ 217
    43328 ÷ 131072     		y = 0.33056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80810546875 × 2 - 1) × π
    0.6162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93588375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33056640625 × 2 - 1) × π
    0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93588375} λ = 1.93588375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06458266676221))-π/2
    2×atan(2.89962862011422)-π/2
    2×1.23869738822162-π/2
    2.47739477644325-1.57079632675     		φ = 0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93588375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105920 KachelY 43328 1.93588375 0.90659845 110.917969 51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 105921 KachelY 43328 1.93593169 0.90659845 110.920715 51.944265
    Unten links KachelX 105920 KachelY + 1 43329 1.93588375 0.90656890 110.917969 51.942572
    Unten rechts KachelX + 1 105921 KachelY + 1 43329 1.93593169 0.90656890 110.920715 51.942572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90659845-0.90656890) × R
    2.95499999999338e-05 × 6371000     		dl = 188.263049999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90659845-0.90656890) × R
    2.95499999999338e-05 × 6371000     		dr = 188.263049999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93588375-1.93593169) × cos(0.90659845) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 188.272895614973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93588375-1.93593169) × cos(0.90656890) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.616450997813893 × 6371000     		du = 188.280002181795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90659845)-sin(0.90656890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616450997813893)×R²
    abs(1.93593169-1.93588375)×2.32677403744219e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.32677403744219e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.32677403744219e-05×40589641000000     		ar = 35445.4985152796m²