Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105916 / 43308
↖ ↑ ↗
← N 51.978114°
E110.906983°		 ← 188.09 m → N 51.978114°
E110.909729°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
N 51.976422°
E110.906983°		 ← 188.10 m →
35 387 m²		 N 51.976422°
E110.909729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808078765869141 y=0.330417633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808078765869141 × 217)
    floor (0.808078765869141 × 131072)
    floor (105916.5)     		tx = 105916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330417633056641 × 217)
    floor (0.330417633056641 × 131072)
    floor (43308.5)     		ty = 43308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105916 / 43308 ti = "17/105916/43308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105916/43308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105916 ÷ 217
    105916 ÷ 131072     		x = 0.808074951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43308 ÷ 217
    43308 ÷ 131072     		y = 0.330413818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808074951171875 × 2 - 1) × π
    0.61614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93569201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330413818359375 × 2 - 1) × π
    0.33917236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06554140475461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93569201} λ = 1.93569201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06554140475461))-π/2
    2×atan(2.90240993730036)-π/2
    2×1.23899277303659-π/2
    2.47798554607317-1.57079632675     		φ = 0.90718922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93569201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.906983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90718922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.978114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105916 KachelY 43308 1.93569201 0.90718922 110.906983 51.978114
    Oben rechts KachelX + 1 105917 KachelY 43308 1.93573994 0.90718922 110.909729 51.978114
    Unten links KachelX 105916 KachelY + 1 43309 1.93569201 0.90715969 110.906983 51.976422
    Unten rechts KachelX + 1 105917 KachelY + 1 43309 1.93573994 0.90715969 110.909729 51.976422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90718922-0.90715969) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dl = 188.135630000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90718922-0.90715969) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dr = 188.135630000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93569201-1.93573994) × cos(0.90718922) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.615962443445532 × 6371000     		do = 188.091542134403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93569201-1.93573994) × cos(0.90715969) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.615985706188037 × 6371000     		du = 188.098645692678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90718922)-sin(0.90715969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615962443445532-0.615985706188037)×R²
    abs(1.93573994-1.93569201)×2.32627425053034e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32627425053034e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32627425053034e-05×40589641000000     		ar = 35387.3889959466m²