Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105915 / 43689
↖ ↑ ↗
← N 51.328896°
E110.904236°		 ← 190.84 m → N 51.328896°
E110.906983°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
N 51.327179°
E110.904236°		 ← 190.85 m →
36 428 m²		 N 51.327179°
E110.906983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808071136474609 y=0.333324432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808071136474609 × 217)
    floor (0.808071136474609 × 131072)
    floor (105915.5)     		tx = 105915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333324432373047 × 217)
    floor (0.333324432373047 × 131072)
    floor (43689.5)     		ty = 43689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105915 / 43689 ti = "17/105915/43689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105915/43689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105915 ÷ 217
    105915 ÷ 131072     		x = 0.808067321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43689 ÷ 217
    43689 ÷ 131072     		y = 0.333320617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808067321777344 × 2 - 1) × π
    0.616134643554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.93564407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333320617675781 × 2 - 1) × π
    0.333358764648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.04727744599937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93564407} λ = 1.93564407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04727744599937))-π/2
    2×atan(2.84988158985849)-π/2
    2×1.2333272770769-π/2
    2.46665455415379-1.57079632675     		φ = 0.89585823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93564407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.904236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89585823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.328896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105915 KachelY 43689 1.93564407 0.89585823 110.904236 51.328896
    Oben rechts KachelX + 1 105916 KachelY 43689 1.93569201 0.89585823 110.906983 51.328896
    Unten links KachelX 105915 KachelY + 1 43690 1.93564407 0.89582827 110.904236 51.327179
    Unten rechts KachelX + 1 105916 KachelY + 1 43690 1.93569201 0.89582827 110.906983 51.327179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89585823-0.89582827) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89585823-0.89582827) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93564407-1.93569201) × cos(0.89585823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624848987267904 × 6371000     		do = 190.844964324425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93564407-1.93569201) × cos(0.89582827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624872378126626 × 6371000     		du = 190.852108494759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89585823)-sin(0.89582827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624848987267904-0.624872378126626)×R²
    abs(1.93569201-1.93564407)×2.33908587219389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33908587219389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33908587219389e-05×40589641000000     		ar = 36428.2449257093m²