Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105910 / 43323
↖ ↑ ↗
← N 51.952729°
E110.890503°		 ← 188.20 m → N 51.952729°
E110.893249°		 →
↑
188.20 m
↓
↑
188.20 m
↓
N 51.951037°
E110.890503°		 ← 188.21 m →
35 419 m²		 N 51.951037°
E110.893249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808032989501953 y=0.330532073974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808032989501953 × 217)
    floor (0.808032989501953 × 131072)
    floor (105910.5)     		tx = 105910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330532073974609 × 217)
    floor (0.330532073974609 × 131072)
    floor (43323.5)     		ty = 43323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105910 / 43323 ti = "17/105910/43323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105910/43323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105910 ÷ 217
    105910 ÷ 131072     		x = 0.808029174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43323 ÷ 217
    43323 ÷ 131072     		y = 0.330528259277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808029174804688 × 2 - 1) × π
    0.616058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93540439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330528259277344 × 2 - 1) × π
    0.338943481445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.06482235126031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93540439} λ = 1.93540439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06482235126031))-π/2
    2×atan(2.90032369944125)-π/2
    2×1.23877125533623-π/2
    2.47754251067247-1.57079632675     		φ = 0.90674618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93540439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.890503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90674618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.952729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105910 KachelY 43323 1.93540439 0.90674618 110.890503 51.952729
    Oben rechts KachelX + 1 105911 KachelY 43323 1.93545232 0.90674618 110.893249 51.952729
    Unten links KachelX 105910 KachelY + 1 43324 1.93540439 0.90671664 110.890503 51.951037
    Unten rechts KachelX + 1 105911 KachelY + 1 43324 1.93545232 0.90671664 110.893249 51.951037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90674618-0.90671664) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dl = 188.199339999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90674618-0.90671664) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dr = 188.199339999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93540439-1.93545232) × cos(0.90674618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61631139904811 × 6371000     		do = 188.198099925586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93540439-1.93545232) × cos(0.90671664) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616334661604405 × 6371000     		du = 188.205203426999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90674618)-sin(0.90671664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61631139904811-0.616334661604405)×R²
    abs(1.93545232-1.93540439)×2.32625562948119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32625562948119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32625562948119e-05×40589641000000     		ar = 35419.4266350035m²