Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105908 / 44620
↖ ↑ ↗
← N 49.703168°
E110.885010°		 ← 197.53 m → N 49.703168°
E110.887756°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
N 49.701391°
E110.885010°		 ← 197.54 m →
39 026 m²		 N 49.701391°
E110.887756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808017730712891 y=0.340427398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808017730712891 × 217)
    floor (0.808017730712891 × 131072)
    floor (105908.5)     		tx = 105908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340427398681641 × 217)
    floor (0.340427398681641 × 131072)
    floor (44620.5)     		ty = 44620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105908 / 44620 ti = "17/105908/44620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105908/44620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105908 ÷ 217
    105908 ÷ 131072     		x = 0.808013916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44620 ÷ 217
    44620 ÷ 131072     		y = 0.340423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808013916015625 × 2 - 1) × π
    0.61602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93530851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340423583984375 × 2 - 1) × π
    0.31915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00264819245309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93530851} λ = 1.93530851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00264819245309))-π/2
    2×atan(2.72548990185286)-π/2
    2×1.21914012608223-π/2
    2.43828025216447-1.57079632675     		φ = 0.86748393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93530851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.885010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86748393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.703168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105908 KachelY 44620 1.93530851 0.86748393 110.885010 49.703168
    Oben rechts KachelX + 1 105909 KachelY 44620 1.93535645 0.86748393 110.887756 49.703168
    Unten links KachelX 105908 KachelY + 1 44621 1.93530851 0.86745292 110.885010 49.701391
    Unten rechts KachelX + 1 105909 KachelY + 1 44621 1.93535645 0.86745292 110.887756 49.701391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86748393-0.86745292) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86748393-0.86745292) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93530851-1.93535645) × cos(0.86748393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646747609248461 × 6371000     		do = 197.533367147813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93530851-1.93535645) × cos(0.86745292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646771260391347 × 6371000     		du = 197.54059081563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86748393)-sin(0.86745292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646747609248461-0.646771260391347)×R²
    abs(1.93535645-1.93530851)×2.36511428852726e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36511428852726e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36511428852726e-05×40589641000000     		ar = 39026.3359699333m²