Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105907 / 44939
↖ ↑ ↗
← N 49.133206°
E110.882263°		 ← 199.84 m → N 49.133206°
E110.885010°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 49.131408°
E110.882263°		 ← 199.85 m →
39 941 m²		 N 49.131408°
E110.885010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808010101318359 y=0.342861175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808010101318359 × 217)
    floor (0.808010101318359 × 131072)
    floor (105907.5)     		tx = 105907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342861175537109 × 217)
    floor (0.342861175537109 × 131072)
    floor (44939.5)     		ty = 44939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105907 / 44939 ti = "17/105907/44939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105907/44939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105907 ÷ 217
    105907 ÷ 131072     		x = 0.808006286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44939 ÷ 217
    44939 ÷ 131072     		y = 0.342857360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808006286621094 × 2 - 1) × π
    0.616012573242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.93526057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342857360839844 × 2 - 1) × π
    0.314285278320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.987356321474297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93526057} λ = 1.93526057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987356321474297))-π/2
    2×atan(2.68412910985251)-π/2
    2×1.21416626777591-π/2
    2.42833253555182-1.57079632675     		φ = 0.85753621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93526057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.882263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85753621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.133206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105907 KachelY 44939 1.93526057 0.85753621 110.882263 49.133206
    Oben rechts KachelX + 1 105908 KachelY 44939 1.93530851 0.85753621 110.885010 49.133206
    Unten links KachelX 105907 KachelY + 1 44940 1.93526057 0.85750484 110.882263 49.131408
    Unten rechts KachelX + 1 105908 KachelY + 1 44940 1.93530851 0.85750484 110.885010 49.131408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85753621-0.85750484) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dl = 199.858269999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85753621-0.85750484) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dr = 199.858269999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93526057-1.93530851) × cos(0.85753621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654302650971148 × 6371000     		do = 199.840871356693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93526057-1.93530851) × cos(0.85750484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654326373671995 × 6371000     		du = 199.848116880155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85753621)-sin(0.85750484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654302650971148-0.654326373671995)×R²
    abs(1.93530851-1.93526057)×2.3722700847606e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3722700847606e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3722700847606e-05×40589641000000     		ar = 39940.5748668412m²