Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105906 / 44938
↖ ↑ ↗
← N 49.135002°
E110.879517°		 ← 199.79 m → N 49.135002°
E110.882263°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 49.133206°
E110.879517°		 ← 199.80 m →
39 918 m²		 N 49.133206°
E110.882263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808002471923828 y=0.342853546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808002471923828 × 217)
    floor (0.808002471923828 × 131072)
    floor (105906.5)     		tx = 105906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342853546142578 × 217)
    floor (0.342853546142578 × 131072)
    floor (44938.5)     		ty = 44938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105906 / 44938 ti = "17/105906/44938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105906/44938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105906 ÷ 217
    105906 ÷ 131072     		x = 0.807998657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44938 ÷ 217
    44938 ÷ 131072     		y = 0.342849731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807998657226562 × 2 - 1) × π
    0.615997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93521264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342849731445312 × 2 - 1) × π
    0.314300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.987404258373917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93521264} λ = 1.93521264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987404258373917))-π/2
    2×atan(2.68425778176426)-π/2
    2×1.21418195011192-π/2
    2.42836390022385-1.57079632675     		φ = 0.85756757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93521264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.879517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85756757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.135002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105906 KachelY 44938 1.93521264 0.85756757 110.879517 49.135002
    Oben rechts KachelX + 1 105907 KachelY 44938 1.93526057 0.85756757 110.882263 49.135002
    Unten links KachelX 105906 KachelY + 1 44939 1.93521264 0.85753621 110.879517 49.133206
    Unten rechts KachelX + 1 105907 KachelY + 1 44939 1.93526057 0.85753621 110.882263 49.133206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85756757-0.85753621) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dl = 199.794559999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85756757-0.85753621) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dr = 199.794559999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93521264-1.93526057) × cos(0.85756757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654278935188949 × 6371000     		do = 199.791943835658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93521264-1.93526057) × cos(0.85753621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654302650971148 × 6371000     		du = 199.799185735053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85756757)-sin(0.85753621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654278935188949-0.654302650971148)×R²
    abs(1.93526057-1.93521264)×2.37157821986189e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37157821986189e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37157821986189e-05×40589641000000     		ar = 39918.0669594766m²