Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105900 / 43674
↖ ↑ ↗
← N 51.354631°
E110.863037°		 ← 190.70 m → N 51.354631°
E110.865784°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
N 51.352916°
E110.863037°		 ← 190.71 m →
36 376 m²		 N 51.352916°
E110.865784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807956695556641 y=0.333209991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807956695556641 × 217)
    floor (0.807956695556641 × 131072)
    floor (105900.5)     		tx = 105900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333209991455078 × 217)
    floor (0.333209991455078 × 131072)
    floor (43674.5)     		ty = 43674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105900 / 43674 ti = "17/105900/43674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105900/43674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105900 ÷ 217
    105900 ÷ 131072     		x = 0.807952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43674 ÷ 217
    43674 ÷ 131072     		y = 0.333206176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807952880859375 × 2 - 1) × π
    0.61590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93492502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333206176757812 × 2 - 1) × π
    0.333587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04799649949367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93492502} λ = 1.93492502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04799649949367))-π/2
    2×atan(2.85193154409907)-π/2
    2×1.23355186394674-π/2
    2.46710372789348-1.57079632675     		φ = 0.89630740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93492502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.863037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89630740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.354631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105900 KachelY 43674 1.93492502 0.89630740 110.863037 51.354631
    Oben rechts KachelX + 1 105901 KachelY 43674 1.93497295 0.89630740 110.865784 51.354631
    Unten links KachelX 105900 KachelY + 1 43675 1.93492502 0.89627746 110.863037 51.352916
    Unten rechts KachelX + 1 105901 KachelY + 1 43675 1.93497295 0.89627746 110.865784 51.352916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89630740-0.89627746) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dl = 190.747740000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89630740-0.89627746) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dr = 190.747740000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93492502-1.93497295) × cos(0.89630740) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.624498236731026 × 6371000     		do = 190.69804929884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93492502-1.93497295) × cos(0.89627746) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.624521620376071 × 6371000     		du = 190.70518977616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89630740)-sin(0.89627746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624498236731026-0.624521620376071)×R²
    abs(1.93497295-1.93492502)×2.33836450451719e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.33836450451719e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.33836450451719e-05×40589641000000     		ar = 36375.9029437976m²