Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1059 / 740
↖ ↑ ↗
← N 44.590467°
E  6.152344°		 ← 13.920 km → N 44.590467°
E  6.328125°		 →
↑
13.935 km
↓
↑
13.935 km
↓
N 44.465151°
E  6.152344°		 ← 13.950 km →
194.171 km²		 N 44.465151°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517333984375 y=0.361572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517333984375 × 211)
    floor (0.517333984375 × 2048)
    floor (1059.5)     		tx = 1059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361572265625 × 211)
    floor (0.361572265625 × 2048)
    floor (740.5)     		ty = 740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1059 / 740 ti = "11/1059/740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1059/740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1059 ÷ 211
    1059 ÷ 2048     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 740 ÷ 211
    740 ÷ 2048     		y = 0.361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361328125 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871301087494141))-π/2
    2×atan(2.39001845457747)-π/2
    2×1.17452339704674-π/2
    2.34904679409348-1.57079632675     		φ = 0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1059 KachelY 740 0.10737866 0.77825047 6.152344 44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 1060 KachelY 740 0.11044662 0.77825047 6.328125 44.590467
    Unten links KachelX 1059 KachelY + 1 741 0.10737866 0.77606329 6.152344 44.465151
    Unten rechts KachelX + 1 1060 KachelY + 1 741 0.11044662 0.77606329 6.328125 44.465151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77825047-0.77606329) × R
    0.00218718000000007 × 6371000     		dl = 13934.5237800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77825047-0.77606329) × R
    0.00218718000000007 × 6371000     		dr = 13934.5237800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.11044662) × cos(0.77825047) × R
    0.00306795999999999 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 13919.5251851417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.11044662) × cos(0.77606329) × R
    0.00306795999999999 × 0.713676629233332 × 6371000     		du = 13949.5042399139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77825047)-sin(0.77606329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.713676629233332)×R²
    abs(0.11044662-0.10737866)×0.0015337714078939×R²
    0.00306795999999999×0.0015337714078939×6371000²
    0.00306795999999999×0.0015337714078939×40589641000000     		ar = 194170904.030016m²