Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1059 / 733
↖ ↑ ↗
← N 45.460131°
E  6.152344°		 ← 13.710 km → N 45.460131°
E  6.328125°		 →
↑
13.725 km
↓
↑
13.725 km
↓
N 45.336702°
E  6.152344°		 ← 13.740 km →
188.366 km²		 N 45.336702°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517333984375 y=0.358154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517333984375 × 211)
    floor (0.517333984375 × 2048)
    floor (1059.5)     		tx = 1059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358154296875 × 211)
    floor (0.358154296875 × 2048)
    floor (733.5)     		ty = 733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1059 / 733 ti = "11/1059/733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1059/733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1059 ÷ 211
    1059 ÷ 2048     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 733 ÷ 211
    733 ÷ 2048     		y = 0.35791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35791015625 × 2 - 1) × π
    0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892776818523926))-π/2
    2×atan(2.44190096141245)-π/2
    2×1.18211264239774-π/2
    2.36422528479547-1.57079632675     		φ = 0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1059 KachelY 733 0.10737866 0.79342896 6.152344 45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 1060 KachelY 733 0.11044662 0.79342896 6.328125 45.460131
    Unten links KachelX 1059 KachelY + 1 734 0.10737866 0.79127472 6.152344 45.336702
    Unten rechts KachelX + 1 1060 KachelY + 1 734 0.11044662 0.79127472 6.328125 45.336702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79342896-0.79127472) × R
    0.00215423999999997 × 6371000     		dl = 13724.6630399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79342896-0.79127472) × R
    0.00215423999999997 × 6371000     		dr = 13724.6630399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.11044662) × cos(0.79342896) × R
    0.00306795999999999 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 13709.6513112587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.11044662) × cos(0.79127472) × R
    0.00306795999999999 × 0.702939242531099 × 6371000     		du = 13739.6315676236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79342896)-sin(0.79127472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.702939242531099)×R²
    abs(0.11044662-0.10737866)×0.00153383288309228×R²
    0.00306795999999999×0.00153383288309228×6371000²
    0.00306795999999999×0.00153383288309228×40589641000000     		ar = 188366151.947847m²