Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1059 / 3100
↖ ↑ ↗
← N 40.044437°
W133.461914°		 ← 3 740.83 m → N 40.044437°
W133.417969°		 →
↑
3 741.75 m
↓
↑
3 741.75 m
↓
N 40.010787°
W133.461914°		 ← 3 742.68 m →
14 000 726 m²		 N 40.010787°
W133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12933349609375 y=0.37847900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12933349609375 × 213)
    floor (0.12933349609375 × 8192)
    floor (1059.5)     		tx = 1059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37847900390625 × 213)
    floor (0.37847900390625 × 8192)
    floor (3100.5)     		ty = 3100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1059 / 3100 ti = "13/1059/3100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1059/3100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1059 ÷ 213
    1059 ÷ 8192     		x = 0.1292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3100 ÷ 213
    3100 ÷ 8192     		y = 0.37841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.763922432345215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32934983} λ = -2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763922432345215))-π/2
    2×atan(2.14667993503337)-π/2
    2×1.13485180486948-π/2
    2.26970360973897-1.57079632675     		φ = 0.69890728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69890728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.044437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1059 KachelY 3100 -2.32934983 0.69890728 -133.461914 40.044437
    Oben rechts KachelX + 1 1060 KachelY 3100 -2.32858284 0.69890728 -133.417969 40.044437
    Unten links KachelX 1059 KachelY + 1 3101 -2.32934983 0.69831997 -133.461914 40.010787
    Unten rechts KachelX + 1 1060 KachelY + 1 3101 -2.32858284 0.69831997 -133.417969 40.010787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69890728-0.69831997) × R
    0.000587310000000008 × 6371000     		dl = 3741.75201000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69890728-0.69831997) × R
    0.000587310000000008 × 6371000     		dr = 3741.75201000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32934983--2.32858284) × cos(0.69890728) × R
    0.000766989999999801 × 0.765545680070707 × 6371000     		do = 3740.83382885303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32934983--2.32858284) × cos(0.69831997) × R
    0.000766989999999801 × 0.765923412432855 × 6371000     		du = 3742.67961550608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69890728)-sin(0.69831997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765545680070707-0.765923412432855)×R²
    abs(-2.32858284--2.32934983)×0.000377732362147665×R²
    0.000766989999999801×0.000377732362147665×6371000²
    0.000766989999999801×0.000377732362147665×40589641000000     		ar = 14000726.1385894m²