Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105899 / 43675
↖ ↑ ↗
← N 51.352916°
E110.860291°		 ← 190.74 m → N 51.352916°
E110.863037°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
N 51.351201°
E110.860291°		 ← 190.75 m →
36 373 m²		 N 51.351201°
E110.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807949066162109 y=0.333217620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807949066162109 × 217)
    floor (0.807949066162109 × 131072)
    floor (105899.5)     		tx = 105899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333217620849609 × 217)
    floor (0.333217620849609 × 131072)
    floor (43675.5)     		ty = 43675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105899 / 43675 ti = "17/105899/43675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105899/43675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105899 ÷ 217
    105899 ÷ 131072     		x = 0.807945251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43675 ÷ 217
    43675 ÷ 131072     		y = 0.333213806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807945251464844 × 2 - 1) × π
    0.615890502929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.93487708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333213806152344 × 2 - 1) × π
    0.333572387695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.04794856259405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93487708} λ = 1.93487708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04794856259405))-π/2
    2×atan(2.85179483461966)-π/2
    2×1.23353689541191-π/2
    2.46707379082382-1.57079632675     		φ = 0.89627746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93487708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.860291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89627746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.352916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105899 KachelY 43675 1.93487708 0.89627746 110.860291 51.352916
    Oben rechts KachelX + 1 105900 KachelY 43675 1.93492502 0.89627746 110.863037 51.352916
    Unten links KachelX 105899 KachelY + 1 43676 1.93487708 0.89624753 110.860291 51.351201
    Unten rechts KachelX + 1 105900 KachelY + 1 43676 1.93492502 0.89624753 110.863037 51.351201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89627746-0.89624753) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89627746-0.89624753) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93487708-1.93492502) × cos(0.89627746) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.624521620376071 × 6371000     		do = 190.744978050119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93487708-1.93492502) × cos(0.89624753) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.624544995651404 × 6371000     		du = 190.752117460885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89627746)-sin(0.89624753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624521620376071-0.624544995651404)×R²
    abs(1.93492502-1.93487708)×2.33752753335814e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.33752753335814e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.33752753335814e-05×40589641000000     		ar = 36372.7018055155m²