Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105890 / 43662
↖ ↑ ↗
← N 51.375210°
E110.835571°		 ← 190.61 m → N 51.375210°
E110.838318°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
N 51.373495°
E110.835571°		 ← 190.62 m →
36 347 m²		 N 51.373495°
E110.838318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807880401611328 y=0.333118438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807880401611328 × 217)
    floor (0.807880401611328 × 131072)
    floor (105890.5)     		tx = 105890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333118438720703 × 217)
    floor (0.333118438720703 × 131072)
    floor (43662.5)     		ty = 43662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105890 / 43662 ti = "17/105890/43662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105890/43662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105890 ÷ 217
    105890 ÷ 131072     		x = 0.807876586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43662 ÷ 217
    43662 ÷ 131072     		y = 0.333114624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807876586914062 × 2 - 1) × π
    0.615753173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93444565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333114624023438 × 2 - 1) × π
    0.333770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04857174228911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93444565} λ = 1.93444565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04857174228911))-π/2
    2×atan(2.85357256912157)-π/2
    2×1.2337314426548-π/2
    2.4674628853096-1.57079632675     		φ = 0.89666656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93444565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.835571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89666656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.375210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105890 KachelY 43662 1.93444565 0.89666656 110.835571 51.375210
    Oben rechts KachelX + 1 105891 KachelY 43662 1.93449358 0.89666656 110.838318 51.375210
    Unten links KachelX 105890 KachelY + 1 43663 1.93444565 0.89663663 110.835571 51.373495
    Unten rechts KachelX + 1 105891 KachelY + 1 43663 1.93449358 0.89663663 110.838318 51.373495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89666656-0.89663663) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89666656-0.89663663) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93444565-1.93449358) × cos(0.89666656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624217683081945 × 6371000     		do = 190.612378867916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93444565-1.93449358) × cos(0.89663663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624241065628676 × 6371000     		du = 190.619519009852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89666656)-sin(0.89663663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624217683081945-0.624241065628676)×R²
    abs(1.93449358-1.93444565)×2.33825467307325e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33825467307325e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33825467307325e-05×40589641000000     		ar = 36347.4173286332m²