Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105881 / 43687
↖ ↑ ↗
← N 51.332328°
E110.810852°		 ← 190.79 m → N 51.332328°
E110.813599°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
N 51.330612°
E110.810852°		 ← 190.80 m →
36 406 m²		 N 51.330612°
E110.813599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807811737060547 y=0.333309173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807811737060547 × 217)
    floor (0.807811737060547 × 131072)
    floor (105881.5)     		tx = 105881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333309173583984 × 217)
    floor (0.333309173583984 × 131072)
    floor (43687.5)     		ty = 43687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105881 / 43687 ti = "17/105881/43687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105881/43687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105881 ÷ 217
    105881 ÷ 131072     		x = 0.807807922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43687 ÷ 217
    43687 ÷ 131072     		y = 0.333305358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807807922363281 × 2 - 1) × π
    0.615615844726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.93401422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333305358886719 × 2 - 1) × π
    0.333389282226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04737331979861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93401422} λ = 1.93401422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04737331979861))-π/2
    2×atan(2.85015483193206)-π/2
    2×1.23335722927914-π/2
    2.46671445855827-1.57079632675     		φ = 0.89591813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93401422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.810852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89591813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.332328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105881 KachelY 43687 1.93401422 0.89591813 110.810852 51.332328
    Oben rechts KachelX + 1 105882 KachelY 43687 1.93406215 0.89591813 110.813599 51.332328
    Unten links KachelX 105881 KachelY + 1 43688 1.93401422 0.89588818 110.810852 51.330612
    Unten rechts KachelX + 1 105882 KachelY + 1 43688 1.93406215 0.89588818 110.813599 51.330612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89591813-0.89588818) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dl = 190.811449999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89591813-0.89588818) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dr = 190.811449999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93401422-1.93406215) × cos(0.89591813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624802219483546 × 6371000     		do = 190.790874090118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93401422-1.93406215) × cos(0.89588818) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.62482560365596 × 6371000     		du = 190.798014728476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89591813)-sin(0.89588818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624802219483546-0.62482560365596)×R²
    abs(1.93406215-1.93401422)×2.33841724139872e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33841724139872e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33841724139872e-05×40589641000000     		ar = 36405.7645924137m²