Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105879 / 43685
↖ ↑ ↗
← N 51.335760°
E110.805359°		 ← 190.82 m → N 51.335760°
E110.808106°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
N 51.334044°
E110.805359°		 ← 190.82 m →
36 411 m²		 N 51.334044°
E110.808106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807796478271484 y=0.333293914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807796478271484 × 217)
    floor (0.807796478271484 × 131072)
    floor (105879.5)     		tx = 105879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333293914794922 × 217)
    floor (0.333293914794922 × 131072)
    floor (43685.5)     		ty = 43685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105879 / 43685 ti = "17/105879/43685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105879/43685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105879 ÷ 217
    105879 ÷ 131072     		x = 0.807792663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43685 ÷ 217
    43685 ÷ 131072     		y = 0.333290100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807792663574219 × 2 - 1) × π
    0.615585327148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.93391834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333290100097656 × 2 - 1) × π
    0.333419799804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04746919359785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93391834} λ = 1.93391834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04746919359785))-π/2
    2×atan(2.85042810020364)-π/2
    2×1.23338717923934-π/2
    2.46677435847868-1.57079632675     		φ = 0.89597803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93391834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.805359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89597803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.335760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105879 KachelY 43685 1.93391834 0.89597803 110.805359 51.335760
    Oben rechts KachelX + 1 105880 KachelY 43685 1.93396628 0.89597803 110.808106 51.335760
    Unten links KachelX 105879 KachelY + 1 43686 1.93391834 0.89594808 110.805359 51.334044
    Unten rechts KachelX + 1 105880 KachelY + 1 43686 1.93396628 0.89594808 110.808106 51.334044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89597803-0.89594808) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dl = 190.811449999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89597803-0.89594808) × R
    2.99499999999453e-05 × 6371000     		dr = 190.811449999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93391834-1.93396628) × cos(0.89597803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624755449457391 × 6371000     		do = 190.816395469431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93391834-1.93396628) × cos(0.89594808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624778834750683 × 6371000     		du = 190.82353793994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89597803)-sin(0.89594808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624755449457391-0.624778834750683)×R²
    abs(1.93396628-1.93391834)×2.3385293291267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3385293291267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3385293291267e-05×40589641000000     		ar = 36410.6345385631m²