Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105877 / 44337
↖ ↑ ↗
← N 50.203275°
E110.799866°		 ← 195.45 m → N 50.203275°
E110.802612°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 50.201518°
E110.799866°		 ← 195.46 m →
38 204 m²		 N 50.201518°
E110.802612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807781219482422 y=0.338268280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807781219482422 × 217)
    floor (0.807781219482422 × 131072)
    floor (105877.5)     		tx = 105877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338268280029297 × 217)
    floor (0.338268280029297 × 131072)
    floor (44337.5)     		ty = 44337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105877 / 44337 ti = "17/105877/44337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105877/44337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105877 ÷ 217
    105877 ÷ 131072     		x = 0.807777404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44337 ÷ 217
    44337 ÷ 131072     		y = 0.338264465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807777404785156 × 2 - 1) × π
    0.615554809570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.93382247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338264465332031 × 2 - 1) × π
    0.323471069335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01621433504557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93382247} λ = 1.93382247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01621433504557))-π/2
    2×atan(2.76271622436883)-π/2
    2×1.22350438805943-π/2
    2.44700877611885-1.57079632675     		φ = 0.87621245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93382247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.799866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87621245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.203275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105877 KachelY 44337 1.93382247 0.87621245 110.799866 50.203275
    Oben rechts KachelX + 1 105878 KachelY 44337 1.93387040 0.87621245 110.802612 50.203275
    Unten links KachelX 105877 KachelY + 1 44338 1.93382247 0.87618177 110.799866 50.201518
    Unten rechts KachelX + 1 105878 KachelY + 1 44338 1.93387040 0.87618177 110.802612 50.201518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87621245-0.87618177) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87621245-0.87618177) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93382247-1.93387040) × cos(0.87621245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640065779128192 × 6371000     		do = 195.451785648236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93382247-1.93387040) × cos(0.87618177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640089350888067 × 6371000     		du = 195.458983568682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87621245)-sin(0.87618177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640065779128192-0.640089350888067)×R²
    abs(1.93387040-1.93382247)×2.35717598751073e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35717598751073e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35717598751073e-05×40589641000000     		ar = 38204.1551169217m²