Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105877 / 43475
↖ ↑ ↗
← N 51.694693°
E110.799866°		 ← 189.28 m → N 51.694693°
E110.802612°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
N 51.692990°
E110.799866°		 ← 189.29 m →
35 828 m²		 N 51.692990°
E110.802612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807781219482422 y=0.331691741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807781219482422 × 217)
    floor (0.807781219482422 × 131072)
    floor (105877.5)     		tx = 105877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331691741943359 × 217)
    floor (0.331691741943359 × 131072)
    floor (43475.5)     		ty = 43475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105877 / 43475 ti = "17/105877/43475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105877/43475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105877 ÷ 217
    105877 ÷ 131072     		x = 0.807777404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43475 ÷ 217
    43475 ÷ 131072     		y = 0.331687927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807777404785156 × 2 - 1) × π
    0.615554809570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.93382247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331687927246094 × 2 - 1) × π
    0.336624145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05753594251806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93382247} λ = 1.93382247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05753594251806))-π/2
    2×atan(2.87926756045873)-π/2
    2×1.23651946024829-π/2
    2.47303892049657-1.57079632675     		φ = 0.90224259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93382247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.799866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90224259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.694693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105877 KachelY 43475 1.93382247 0.90224259 110.799866 51.694693
    Oben rechts KachelX + 1 105878 KachelY 43475 1.93387040 0.90224259 110.802612 51.694693
    Unten links KachelX 105877 KachelY + 1 43476 1.93382247 0.90221288 110.799866 51.692990
    Unten rechts KachelX + 1 105878 KachelY + 1 43476 1.93387040 0.90221288 110.802612 51.692990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90224259-0.90221288) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90224259-0.90221288) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93382247-1.93387040) × cos(0.90224259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619851725546005 × 6371000     		do = 189.279181211847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93382247-1.93387040) × cos(0.90221288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619875039272588 × 6371000     		du = 189.286300338723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90224259)-sin(0.90221288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619851725546005-0.619875039272588)×R²
    abs(1.93387040-1.93382247)×2.33137265830408e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33137265830408e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33137265830408e-05×40589641000000     		ar = 35827.8933480544m²