Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105875 / 44249
↖ ↑ ↗
← N 50.357728°
E110.794372°		 ← 194.86 m → N 50.357728°
E110.797119°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 50.355975°
E110.794372°		 ← 194.87 m →
37 977 m²		 N 50.355975°
E110.797119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807765960693359 y=0.337596893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807765960693359 × 217)
    floor (0.807765960693359 × 131072)
    floor (105875.5)     		tx = 105875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337596893310547 × 217)
    floor (0.337596893310547 × 131072)
    floor (44249.5)     		ty = 44249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105875 / 44249 ti = "17/105875/44249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105875/44249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105875 ÷ 217
    105875 ÷ 131072     		x = 0.807762145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44249 ÷ 217
    44249 ÷ 131072     		y = 0.337593078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807762145996094 × 2 - 1) × π
    0.615524291992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.93372659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337593078613281 × 2 - 1) × π
    0.324813842773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.02043278221214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93372659} λ = 1.93372659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02043278221214))-π/2
    2×atan(2.7743952130767)-π/2
    2×1.22485224280237-π/2
    2.44970448560474-1.57079632675     		φ = 0.87890816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93372659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.794372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87890816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.357728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105875 KachelY 44249 1.93372659 0.87890816 110.794372 50.357728
    Oben rechts KachelX + 1 105876 KachelY 44249 1.93377453 0.87890816 110.797119 50.357728
    Unten links KachelX 105875 KachelY + 1 44250 1.93372659 0.87887757 110.794372 50.355975
    Unten rechts KachelX + 1 105876 KachelY + 1 44250 1.93377453 0.87887757 110.797119 50.355975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87890816-0.87887757) × R
    3.05900000000525e-05 × 6371000     		dl = 194.888890000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87890816-0.87887757) × R
    3.05900000000525e-05 × 6371000     		dr = 194.888890000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93372659-1.93377453) × cos(0.87890816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63799228779037 × 6371000     		do = 194.859266612539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93372659-1.93377453) × cos(0.87887757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638015843099666 × 6371000     		du = 194.866461010312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87890816)-sin(0.87887757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63799228779037-0.638015843099666)×R²
    abs(1.93377453-1.93372659)×2.35553092960972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35553092960972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35553092960972e-05×40589641000000     		ar = 37976.6072334125m²