Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105874 / 44248
↖ ↑ ↗
← N 50.359480°
E110.791626°		 ← 194.81 m → N 50.359480°
E110.794372°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 50.357728°
E110.791626°		 ← 194.82 m →
37 955 m²		 N 50.357728°
E110.794372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807758331298828 y=0.337589263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807758331298828 × 217)
    floor (0.807758331298828 × 131072)
    floor (105874.5)     		tx = 105874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337589263916016 × 217)
    floor (0.337589263916016 × 131072)
    floor (44248.5)     		ty = 44248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105874 / 44248 ti = "17/105874/44248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105874/44248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105874 ÷ 217
    105874 ÷ 131072     		x = 0.807754516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44248 ÷ 217
    44248 ÷ 131072     		y = 0.33758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807754516601562 × 2 - 1) × π
    0.615509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93367866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33758544921875 × 2 - 1) × π
    0.3248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02048071911176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93367866} λ = 1.93367866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02048071911176))-π/2
    2×atan(2.77452821216929)-π/2
    2×1.22486753420629-π/2
    2.44973506841257-1.57079632675     		φ = 0.87893874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93367866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.791626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87893874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.359480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105874 KachelY 44248 1.93367866 0.87893874 110.791626 50.359480
    Oben rechts KachelX + 1 105875 KachelY 44248 1.93372659 0.87893874 110.794372 50.359480
    Unten links KachelX 105874 KachelY + 1 44249 1.93367866 0.87890816 110.791626 50.357728
    Unten rechts KachelX + 1 105875 KachelY + 1 44249 1.93372659 0.87890816 110.794372 50.357728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87893874-0.87890816) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87893874-0.87890816) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93367866-1.93372659) × cos(0.87893874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637968739584697 × 6371000     		do = 194.811429396244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93367866-1.93372659) × cos(0.87890816) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63799228779037 × 6371000     		du = 194.818620124131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87893874)-sin(0.87890816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637968739584697-0.63799228779037)×R²
    abs(1.93372659-1.93367866)×2.35482056735181e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35482056735181e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35482056735181e-05×40589641000000     		ar = 37954.8722686155m²