Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105873 / 43471
↖ ↑ ↗
← N 51.701502°
E110.788879°		 ← 189.29 m → N 51.701502°
E110.791626°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
N 51.699800°
E110.788879°		 ← 189.30 m →
35 830 m²		 N 51.699800°
E110.791626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807750701904297 y=0.331661224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807750701904297 × 217)
    floor (0.807750701904297 × 131072)
    floor (105873.5)     		tx = 105873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331661224365234 × 217)
    floor (0.331661224365234 × 131072)
    floor (43471.5)     		ty = 43471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105873 / 43471 ti = "17/105873/43471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105873/43471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105873 ÷ 217
    105873 ÷ 131072     		x = 0.807746887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43471 ÷ 217
    43471 ÷ 131072     		y = 0.331657409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807746887207031 × 2 - 1) × π
    0.615493774414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.93363072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331657409667969 × 2 - 1) × π
    0.336685180664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.05772769011654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93363072} λ = 1.93363072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05772769011654))-π/2
    2×atan(2.87981970603343)-π/2
    2×1.23657888331702-π/2
    2.47315776663403-1.57079632675     		φ = 0.90236144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93363072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.788879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90236144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.701502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105873 KachelY 43471 1.93363072 0.90236144 110.788879 51.701502
    Oben rechts KachelX + 1 105874 KachelY 43471 1.93367866 0.90236144 110.791626 51.701502
    Unten links KachelX 105873 KachelY + 1 43472 1.93363072 0.90233173 110.788879 51.699800
    Unten rechts KachelX + 1 105874 KachelY + 1 43472 1.93367866 0.90233173 110.791626 51.699800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90236144-0.90233173) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90236144-0.90233173) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93363072-1.93367866) × cos(0.90236144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61975845732062 × 6371000     		do = 189.290185448285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93363072-1.93367866) × cos(0.90233173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619781773235797 × 6371000     		du = 189.297306728931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90236144)-sin(0.90233173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61975845732062-0.619781773235797)×R²
    abs(1.93367866-1.93363072)×2.33159151766804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33159151766804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33159151766804e-05×40589641000000     		ar = 35829.9764602998m²