Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105866 / 43446
↖ ↑ ↗
← N 51.744037°
E110.769653°		 ← 189.11 m → N 51.744037°
E110.772400°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
N 51.742337°
E110.769653°		 ← 189.12 m →
35 760 m²		 N 51.742337°
E110.772400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807697296142578 y=0.331470489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807697296142578 × 217)
    floor (0.807697296142578 × 131072)
    floor (105866.5)     		tx = 105866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331470489501953 × 217)
    floor (0.331470489501953 × 131072)
    floor (43446.5)     		ty = 43446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105866 / 43446 ti = "17/105866/43446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105866/43446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105866 ÷ 217
    105866 ÷ 131072     		x = 0.807693481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43446 ÷ 217
    43446 ÷ 131072     		y = 0.331466674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807693481445312 × 2 - 1) × π
    0.615386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93329516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331466674804688 × 2 - 1) × π
    0.337066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05892611260704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93329516} λ = 1.93329516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05892611260704))-π/2
    2×atan(2.88327301558634)-π/2
    2×1.23695007493728-π/2
    2.47390014987456-1.57079632675     		φ = 0.90310382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93329516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.769653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90310382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.744037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105866 KachelY 43446 1.93329516 0.90310382 110.769653 51.744037
    Oben rechts KachelX + 1 105867 KachelY 43446 1.93334310 0.90310382 110.772400 51.744037
    Unten links KachelX 105866 KachelY + 1 43447 1.93329516 0.90307414 110.769653 51.742337
    Unten rechts KachelX + 1 105867 KachelY + 1 43447 1.93334310 0.90307414 110.772400 51.742337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90310382-0.90307414) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dl = 189.091280000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90310382-0.90307414) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dr = 189.091280000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93329516-1.93334310) × cos(0.90310382) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.619175672246633 × 6371000     		do = 189.112187886677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93329516-1.93334310) × cos(0.90307414) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.619198978268077 × 6371000     		du = 189.119306145523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90310382)-sin(0.90307414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619175672246633-0.619198978268077)×R²
    abs(1.93334310-1.93329516)×2.33060214448466e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.33060214448466e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.33060214448466e-05×40589641000000     		ar = 35760.1386741482m²