Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105865 / 43447
↖ ↑ ↗
← N 51.742337°
E110.766906°		 ← 189.12 m → N 51.742337°
E110.769653°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
N 51.740636°
E110.766906°		 ← 189.13 m →
35 761 m²		 N 51.740636°
E110.769653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807689666748047 y=0.331478118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807689666748047 × 217)
    floor (0.807689666748047 × 131072)
    floor (105865.5)     		tx = 105865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331478118896484 × 217)
    floor (0.331478118896484 × 131072)
    floor (43447.5)     		ty = 43447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105865 / 43447 ti = "17/105865/43447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105865/43447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105865 ÷ 217
    105865 ÷ 131072     		x = 0.807685852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43447 ÷ 217
    43447 ÷ 131072     		y = 0.331474304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807685852050781 × 2 - 1) × π
    0.615371704101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.93324722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331474304199219 × 2 - 1) × π
    0.337051391601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05887817570742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93324722} λ = 1.93324722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05887817570742))-π/2
    2×atan(2.88313480372997)-π/2
    2×1.23693523397699-π/2
    2.47387046795398-1.57079632675     		φ = 0.90307414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93324722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.766906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90307414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.742337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105865 KachelY 43447 1.93324722 0.90307414 110.766906 51.742337
    Oben rechts KachelX + 1 105866 KachelY 43447 1.93329516 0.90307414 110.769653 51.742337
    Unten links KachelX 105865 KachelY + 1 43448 1.93324722 0.90304446 110.766906 51.740636
    Unten rechts KachelX + 1 105866 KachelY + 1 43448 1.93329516 0.90304446 110.769653 51.740636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90307414-0.90304446) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dl = 189.091279999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90307414-0.90304446) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dr = 189.091279999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93324722-1.93329516) × cos(0.90307414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619198978268077 × 6371000     		do = 189.119306144647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93324722-1.93329516) × cos(0.90304446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619222283744068 × 6371000     		du = 189.126424236898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90307414)-sin(0.90304446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619198978268077-0.619222283744068)×R²
    abs(1.93329516-1.93324722)×2.33054759908313e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33054759908313e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33054759908313e-05×40589641000000     		ar = 35761.4846585999m²