Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105858 / 44342
↖ ↑ ↗
← N 50.194484°
E110.747681°		 ← 195.49 m → N 50.194484°
E110.750427°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
N 50.192726°
E110.747681°		 ← 195.49 m →
38 224 m²		 N 50.192726°
E110.750427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807636260986328 y=0.338306427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807636260986328 × 217)
    floor (0.807636260986328 × 131072)
    floor (105858.5)     		tx = 105858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338306427001953 × 217)
    floor (0.338306427001953 × 131072)
    floor (44342.5)     		ty = 44342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105858 / 44342 ti = "17/105858/44342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105858/44342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105858 ÷ 217
    105858 ÷ 131072     		x = 0.807632446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44342 ÷ 217
    44342 ÷ 131072     		y = 0.338302612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807632446289062 × 2 - 1) × π
    0.615264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93291167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338302612304688 × 2 - 1) × π
    0.323394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01597465054747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93291167} λ = 1.93291167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01597465054747))-π/2
    2×atan(2.76205412346803)-π/2
    2×1.22342767407376-π/2
    2.44685534814752-1.57079632675     		φ = 0.87605902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93291167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.747681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87605902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.194484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105858 KachelY 44342 1.93291167 0.87605902 110.747681 50.194484
    Oben rechts KachelX + 1 105859 KachelY 44342 1.93295960 0.87605902 110.750427 50.194484
    Unten links KachelX 105858 KachelY + 1 44343 1.93291167 0.87602833 110.747681 50.192726
    Unten rechts KachelX + 1 105859 KachelY + 1 44343 1.93295960 0.87602833 110.750427 50.192726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87605902-0.87602833) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87605902-0.87602833) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93291167-1.93295960) × cos(0.87605902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640183654949083 × 6371000     		do = 195.487780448191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93291167-1.93295960) × cos(0.87602833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640207231377709 × 6371000     		du = 195.494979794297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87605902)-sin(0.87602833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640183654949083-0.640207231377709)×R²
    abs(1.93295960-1.93291167)×2.35764286263818e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35764286263818e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35764286263818e-05×40589641000000     		ar = 38223.6456376322m²