Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105845 / 44227
↖ ↑ ↗
← N 50.396263°
E110.711975°		 ← 194.66 m → N 50.396263°
E110.714721°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 50.394512°
E110.711975°		 ← 194.67 m →
37 901 m²		 N 50.394512°
E110.714721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807537078857422 y=0.337429046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807537078857422 × 217)
    floor (0.807537078857422 × 131072)
    floor (105845.5)     		tx = 105845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337429046630859 × 217)
    floor (0.337429046630859 × 131072)
    floor (44227.5)     		ty = 44227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105845 / 44227 ti = "17/105845/44227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105845/44227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105845 ÷ 217
    105845 ÷ 131072     		x = 0.807533264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44227 ÷ 217
    44227 ÷ 131072     		y = 0.337425231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807533264160156 × 2 - 1) × π
    0.615066528320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.93228849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337425231933594 × 2 - 1) × π
    0.325149536132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02148739400378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93228849} λ = 1.93228849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02148739400378))-π/2
    2×atan(2.77732266637514)-π/2
    2×1.22518852330779-π/2
    2.45037704661558-1.57079632675     		φ = 0.87958072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93228849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.711975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87958072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.396263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105845 KachelY 44227 1.93228849 0.87958072 110.711975 50.396263
    Oben rechts KachelX + 1 105846 KachelY 44227 1.93233642 0.87958072 110.714721 50.396263
    Unten links KachelX 105845 KachelY + 1 44228 1.93228849 0.87955016 110.711975 50.394512
    Unten rechts KachelX + 1 105846 KachelY + 1 44228 1.93233642 0.87955016 110.714721 50.394512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87958072-0.87955016) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87958072-0.87955016) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93228849-1.93233642) × cos(0.87958072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637474243582036 × 6371000     		do = 194.660429093044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93228849-1.93233642) × cos(0.87955016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637497788898486 × 6371000     		du = 194.667618938672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87958072)-sin(0.87955016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637474243582036-0.637497788898486)×R²
    abs(1.93233642-1.93228849)×2.35453164495469e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35453164495469e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35453164495469e-05×40589641000000     		ar = 37900.6494314913m²