Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105838 / 43407
↖ ↑ ↗
← N 51.810313°
E110.692749°		 ← 188.83 m → N 51.810313°
E110.695496°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.808615°
E110.692749°		 ← 188.84 m →
35 660 m²		 N 51.808615°
E110.695496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807483673095703 y=0.331172943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807483673095703 × 217)
    floor (0.807483673095703 × 131072)
    floor (105838.5)     		tx = 105838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331172943115234 × 217)
    floor (0.331172943115234 × 131072)
    floor (43407.5)     		ty = 43407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105838 / 43407 ti = "17/105838/43407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105838/43407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105838 ÷ 217
    105838 ÷ 131072     		x = 0.807479858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43407 ÷ 217
    43407 ÷ 131072     		y = 0.331169128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807479858398438 × 2 - 1) × π
    0.614959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93195293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331169128417969 × 2 - 1) × π
    0.337661743164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.06079565169222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93195293} λ = 1.93195293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06079565169222))-π/2
    2×atan(2.88866844909765)-π/2
    2×1.23752843672698-π/2
    2.47505687345397-1.57079632675     		φ = 0.90426055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93195293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90426055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.810313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105838 KachelY 43407 1.93195293 0.90426055 110.692749 51.810313
    Oben rechts KachelX + 1 105839 KachelY 43407 1.93200087 0.90426055 110.695496 51.810313
    Unten links KachelX 105838 KachelY + 1 43408 1.93195293 0.90423091 110.692749 51.808615
    Unten rechts KachelX + 1 105839 KachelY + 1 43408 1.93200087 0.90423091 110.695496 51.808615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90426055-0.90423091) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90426055-0.90423091) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93195293-1.93200087) × cos(0.90426055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618266933090237 × 6371000     		do = 188.834635556492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93195293-1.93200087) × cos(0.90423091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618290228915873 × 6371000     		du = 188.841750701276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90426055)-sin(0.90423091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618266933090237-0.618290228915873)×R²
    abs(1.93200087-1.93195293)×2.32958256360938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32958256360938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32958256360938e-05×40589641000000     		ar = 35659.5321292261m²