Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105836 / 43763
↖ ↑ ↗
← N 51.201721°
E110.687256°		 ← 191.37 m → N 51.201721°
E110.690002°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 51.200000°
E110.687256°		 ← 191.38 m →
36 627 m²		 N 51.200000°
E110.690002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807468414306641 y=0.333889007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807468414306641 × 217)
    floor (0.807468414306641 × 131072)
    floor (105836.5)     		tx = 105836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333889007568359 × 217)
    floor (0.333889007568359 × 131072)
    floor (43763.5)     		ty = 43763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105836 / 43763 ti = "17/105836/43763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105836/43763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105836 ÷ 217
    105836 ÷ 131072     		x = 0.807464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43763 ÷ 217
    43763 ÷ 131072     		y = 0.333885192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807464599609375 × 2 - 1) × π
    0.61492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93185705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333885192871094 × 2 - 1) × π
    0.332229614257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.04373011542748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93185705} λ = 1.93185705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04373011542748))-π/2
    2×atan(2.83979002740485)-π/2
    2×1.2322174688926-π/2
    2.46443493778519-1.57079632675     		φ = 0.89363861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93185705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.687256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89363861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.201721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105836 KachelY 43763 1.93185705 0.89363861 110.687256 51.201721
    Oben rechts KachelX + 1 105837 KachelY 43763 1.93190499 0.89363861 110.690002 51.201721
    Unten links KachelX 105836 KachelY + 1 43764 1.93185705 0.89360857 110.687256 51.200000
    Unten rechts KachelX + 1 105837 KachelY + 1 43764 1.93190499 0.89360857 110.690002 51.200000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89363861-0.89360857) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dl = 191.384839999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89363861-0.89360857) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dr = 191.384839999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93185705-1.93190499) × cos(0.89363861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626580405241213 × 6371000     		do = 191.373783940172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93185705-1.93190499) × cos(0.89360857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626603816836268 × 6371000     		du = 191.380934443916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89363861)-sin(0.89360857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626580405241213-0.626603816836268)×R²
    abs(1.93190499-1.93185705)×2.3411595054923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3411595054923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3411595054923e-05×40589641000000     		ar = 36626.7252711703m²