Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105833 / 43569
↖ ↑ ↗
← N 51.534377°
E110.679016°		 ← 189.99 m → N 51.534377°
E110.681763°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
N 51.532669°
E110.679016°		 ← 190 m →
36 095 m²		 N 51.532669°
E110.681763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807445526123047 y=0.332408905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807445526123047 × 217)
    floor (0.807445526123047 × 131072)
    floor (105833.5)     		tx = 105833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332408905029297 × 217)
    floor (0.332408905029297 × 131072)
    floor (43569.5)     		ty = 43569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105833 / 43569 ti = "17/105833/43569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105833/43569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105833 ÷ 217
    105833 ÷ 131072     		x = 0.807441711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43569 ÷ 217
    43569 ÷ 131072     		y = 0.332405090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807441711425781 × 2 - 1) × π
    0.614883422851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.93171324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332405090332031 × 2 - 1) × π
    0.335189819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.05302987395377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93171324} λ = 1.93171324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05302987395377))-π/2
    2×atan(2.86632257082543)-π/2
    2×1.23512044288478-π/2
    2.47024088576956-1.57079632675     		φ = 0.89944456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93171324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.679016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89944456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.534377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105833 KachelY 43569 1.93171324 0.89944456 110.679016 51.534377
    Oben rechts KachelX + 1 105834 KachelY 43569 1.93176118 0.89944456 110.681763 51.534377
    Unten links KachelX 105833 KachelY + 1 43570 1.93171324 0.89941474 110.679016 51.532669
    Unten rechts KachelX + 1 105834 KachelY + 1 43570 1.93176118 0.89941474 110.681763 51.532669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89944456-0.89941474) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89944456-0.89941474) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93171324-1.93176118) × cos(0.89944456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622044963459416 × 6371000     		do = 189.98854327774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93171324-1.93176118) × cos(0.89941474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62206831169182 × 6371000     		du = 189.9956744289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89944456)-sin(0.89941474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622044963459416-0.62206831169182)×R²
    abs(1.93176118-1.93171324)×2.33482324044632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33482324044632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33482324044632e-05×40589641000000     		ar = 36095.3126172435m²