Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105831 / 43567
↖ ↑ ↗
← N 51.537794°
E110.673523°		 ← 189.97 m → N 51.537794°
E110.676270°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
N 51.536086°
E110.673523°		 ← 189.98 m →
36 080 m²		 N 51.536086°
E110.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807430267333984 y=0.332393646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807430267333984 × 217)
    floor (0.807430267333984 × 131072)
    floor (105831.5)     		tx = 105831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332393646240234 × 217)
    floor (0.332393646240234 × 131072)
    floor (43567.5)     		ty = 43567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105831 / 43567 ti = "17/105831/43567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105831/43567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105831 ÷ 217
    105831 ÷ 131072     		x = 0.807426452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43567 ÷ 217
    43567 ÷ 131072     		y = 0.332389831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807426452636719 × 2 - 1) × π
    0.614852905273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.93161737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332389831542969 × 2 - 1) × π
    0.335220336914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.05312574775301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93161737} λ = 1.93161737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05312574775301))-π/2
    2×atan(2.86659738923387)-π/2
    2×1.23515026067258-π/2
    2.47030052134517-1.57079632675     		φ = 0.89950419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93161737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.673523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89950419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.537794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105831 KachelY 43567 1.93161737 0.89950419 110.673523 51.537794
    Oben rechts KachelX + 1 105832 KachelY 43567 1.93166531 0.89950419 110.676270 51.537794
    Unten links KachelX 105831 KachelY + 1 43568 1.93161737 0.89947438 110.673523 51.536086
    Unten rechts KachelX + 1 105832 KachelY + 1 43568 1.93166531 0.89947438 110.676270 51.536086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89950419-0.89947438) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89950419-0.89947438) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93161737-1.93166531) × cos(0.89950419) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.621998273165386 × 6371000     		do = 189.974282861016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93161737-1.93166531) × cos(0.89947438) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.622021614673869 × 6371000     		du = 189.981411958517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89950419)-sin(0.89947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621998273165386-0.622021614673869)×R²
    abs(1.93166531-1.93161737)×2.33415084825994e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.33415084825994e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.33415084825994e-05×40589641000000     		ar = 36080.499693553m²