Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105827 / 43612
↖ ↑ ↗
← N 51.460852°
E110.662536°		 ← 190.30 m → N 51.460852°
E110.665283°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
N 51.459141°
E110.662536°		 ← 190.30 m →
36 214 m²		 N 51.459141°
E110.665283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807399749755859 y=0.332736968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807399749755859 × 217)
    floor (0.807399749755859 × 131072)
    floor (105827.5)     		tx = 105827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332736968994141 × 217)
    floor (0.332736968994141 × 131072)
    floor (43612.5)     		ty = 43612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105827 / 43612 ti = "17/105827/43612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105827/43612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105827 ÷ 217
    105827 ÷ 131072     		x = 0.807395935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43612 ÷ 217
    43612 ÷ 131072     		y = 0.332733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807395935058594 × 2 - 1) × π
    0.614791870117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.93142562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332733154296875 × 2 - 1) × π
    0.33453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05096858727011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93142562} λ = 1.93142562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05096858727011))-π/2
    2×atan(2.86042034346027)-π/2
    2×1.2344788189249-π/2
    2.46895763784981-1.57079632675     		φ = 0.89816131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93142562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.662536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89816131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.460852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105827 KachelY 43612 1.93142562 0.89816131 110.662536 51.460852
    Oben rechts KachelX + 1 105828 KachelY 43612 1.93147356 0.89816131 110.665283 51.460852
    Unten links KachelX 105827 KachelY + 1 43613 1.93142562 0.89813144 110.662536 51.459141
    Unten rechts KachelX + 1 105828 KachelY + 1 43613 1.93147356 0.89813144 110.665283 51.459141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89816131-0.89813144) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dl = 190.30176999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89816131-0.89813144) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dr = 190.30176999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93142562-1.93147356) × cos(0.89816131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623049212051311 × 6371000     		do = 190.295266647064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93142562-1.93147356) × cos(0.89813144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62307257556876 × 6371000     		du = 190.30240246667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89816131)-sin(0.89813144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623049212051311-0.62307257556876)×R²
    abs(1.93147356-1.93142562)×2.33635174493596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33635174493596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33635174493596e-05×40589641000000     		ar = 36214.2050478892m²