Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105822 / 43359
↖ ↑ ↗
← N 51.891749°
E110.648804°		 ← 188.45 m → N 51.891749°
E110.651550°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 51.890054°
E110.648804°		 ← 188.46 m →
35 528 m²		 N 51.890054°
E110.651550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807361602783203 y=0.330806732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807361602783203 × 217)
    floor (0.807361602783203 × 131072)
    floor (105822.5)     		tx = 105822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330806732177734 × 217)
    floor (0.330806732177734 × 131072)
    floor (43359.5)     		ty = 43359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105822 / 43359 ti = "17/105822/43359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105822/43359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105822 ÷ 217
    105822 ÷ 131072     		x = 0.807357788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43359 ÷ 217
    43359 ÷ 131072     		y = 0.330802917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807357788085938 × 2 - 1) × π
    0.614715576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93118594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330802917480469 × 2 - 1) × π
    0.338394165039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.06309662287399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93118594} λ = 1.93118594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06309662287399))-π/2
    2×atan(2.89532284480311)-π/2
    2×1.23823910087998-π/2
    2.47647820175997-1.57079632675     		φ = 0.90568188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93118594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.648804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90568188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.891749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105822 KachelY 43359 1.93118594 0.90568188 110.648804 51.891749
    Oben rechts KachelX + 1 105823 KachelY 43359 1.93123387 0.90568188 110.651550 51.891749
    Unten links KachelX 105822 KachelY + 1 43360 1.93118594 0.90565229 110.648804 51.890054
    Unten rechts KachelX + 1 105823 KachelY + 1 43360 1.93123387 0.90565229 110.651550 51.890054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90568188-0.90565229) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90568188-0.90565229) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93118594-1.93123387) × cos(0.90568188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617149188790657 × 6371000     		do = 188.453929102084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93118594-1.93123387) × cos(0.90565229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617172471298336 × 6371000     		du = 188.461038695892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90568188)-sin(0.90565229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617149188790657-0.617172471298336)×R²
    abs(1.93123387-1.93118594)×2.32825076792453e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32825076792453e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32825076792453e-05×40589641000000     		ar = 35527.6072219582m²