Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105821 / 43357
↖ ↑ ↗
← N 51.895139°
E110.646057°		 ← 188.48 m → N 51.895139°
E110.648804°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
N 51.893444°
E110.646057°		 ← 188.49 m →
35 520 m²		 N 51.893444°
E110.648804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807353973388672 y=0.330791473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807353973388672 × 217)
    floor (0.807353973388672 × 131072)
    floor (105821.5)     		tx = 105821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330791473388672 × 217)
    floor (0.330791473388672 × 131072)
    floor (43357.5)     		ty = 43357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105821 / 43357 ti = "17/105821/43357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105821/43357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105821 ÷ 217
    105821 ÷ 131072     		x = 0.807350158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43357 ÷ 217
    43357 ÷ 131072     		y = 0.330787658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807350158691406 × 2 - 1) × π
    0.614700317382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.93113800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330787658691406 × 2 - 1) × π
    0.338424682617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.06319249667323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93113800} λ = 1.93113800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06319249667323))-π/2
    2×atan(2.89560044371128)-π/2
    2×1.23826868398301-π/2
    2.47653736796603-1.57079632675     		φ = 0.90574104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93113800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.646057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90574104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.895139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105821 KachelY 43357 1.93113800 0.90574104 110.646057 51.895139
    Oben rechts KachelX + 1 105822 KachelY 43357 1.93118594 0.90574104 110.648804 51.895139
    Unten links KachelX 105821 KachelY + 1 43358 1.93113800 0.90571146 110.646057 51.893444
    Unten rechts KachelX + 1 105822 KachelY + 1 43358 1.93118594 0.90571146 110.648804 51.893444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90574104-0.90571146) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90574104-0.90571146) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93113800-1.93118594) × cos(0.90574104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617102637891904 × 6371000     		do = 188.479029833963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93113800-1.93118594) × cos(0.90571146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617125913611266 × 6371000     		du = 188.486138837773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90574104)-sin(0.90571146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617102637891904-0.617125913611266)×R²
    abs(1.93118594-1.93113800)×2.32757193617816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32757193617816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32757193617816e-05×40589641000000     		ar = 35520.3308777937m²