Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105820 / 43348
↖ ↑ ↗
← N 51.910390°
E110.643310°		 ← 188.42 m → N 51.910390°
E110.646057°		 →
↑
188.39 m
↓
↑
188.39 m
↓
N 51.908696°
E110.643310°		 ← 188.42 m →
35 496 m²		 N 51.908696°
E110.646057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807346343994141 y=0.330722808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807346343994141 × 217)
    floor (0.807346343994141 × 131072)
    floor (105820.5)     		tx = 105820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330722808837891 × 217)
    floor (0.330722808837891 × 131072)
    floor (43348.5)     		ty = 43348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105820 / 43348 ti = "17/105820/43348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105820/43348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105820 ÷ 217
    105820 ÷ 131072     		x = 0.807342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43348 ÷ 217
    43348 ÷ 131072     		y = 0.330718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807342529296875 × 2 - 1) × π
    0.61468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93109006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330718994140625 × 2 - 1) × π
    0.33856201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06362392876981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93109006} λ = 1.93109006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06362392876981))-π/2
    2×atan(2.89684996820468)-π/2
    2×1.2384017803302-π/2
    2.47680356066039-1.57079632675     		φ = 0.90600723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93109006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.643310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90600723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.910390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105820 KachelY 43348 1.93109006 0.90600723 110.643310 51.910390
    Oben rechts KachelX + 1 105821 KachelY 43348 1.93113800 0.90600723 110.646057 51.910390
    Unten links KachelX 105820 KachelY + 1 43349 1.93109006 0.90597766 110.643310 51.908696
    Unten rechts KachelX + 1 105821 KachelY + 1 43349 1.93113800 0.90597766 110.646057 51.908696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90600723-0.90597766) × R
    2.95700000000343e-05 × 6371000     		dl = 188.390470000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90600723-0.90597766) × R
    2.95700000000343e-05 × 6371000     		dr = 188.390470000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93109006-1.93113800) × cos(0.90600723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616893155733739 × 6371000     		do = 188.415048590789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93109006-1.93113800) × cos(0.90597766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616916428441085 × 6371000     		du = 188.422156674652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90600723)-sin(0.90597766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616893155733739-0.616916428441085)×R²
    abs(1.93113800-1.93109006)×2.32727073465888e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32727073465888e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32727073465888e-05×40589641000000     		ar = 35496.2691092801m²