Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105819 / 44328
↖ ↑ ↗
← N 50.219095°
E110.640564°		 ← 195.39 m → N 50.219095°
E110.643310°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
N 50.217337°
E110.640564°		 ← 195.39 m →
38 179 m²		 N 50.217337°
E110.643310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807338714599609 y=0.338199615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807338714599609 × 217)
    floor (0.807338714599609 × 131072)
    floor (105819.5)     		tx = 105819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338199615478516 × 217)
    floor (0.338199615478516 × 131072)
    floor (44328.5)     		ty = 44328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105819 / 44328 ti = "17/105819/44328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105819/44328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105819 ÷ 217
    105819 ÷ 131072     		x = 0.807334899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44328 ÷ 217
    44328 ÷ 131072     		y = 0.33819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807334899902344 × 2 - 1) × π
    0.614669799804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.93104213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33819580078125 × 2 - 1) × π
    0.3236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01664576714215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93104213} λ = 1.93104213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01664576714215))-π/2
    2×atan(2.76390840597598)-π/2
    2×1.22364243763684-π/2
    2.44728487527368-1.57079632675     		φ = 0.87648855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93104213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.640564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87648855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.219095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105819 KachelY 44328 1.93104213 0.87648855 110.640564 50.219095
    Oben rechts KachelX + 1 105820 KachelY 44328 1.93109006 0.87648855 110.643310 50.219095
    Unten links KachelX 105819 KachelY + 1 44329 1.93104213 0.87645788 110.640564 50.217337
    Unten rechts KachelX + 1 105820 KachelY + 1 44329 1.93109006 0.87645788 110.643310 50.217337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87648855-0.87645788) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dl = 195.398570000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87648855-0.87645788) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dr = 195.398570000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93104213-1.93109006) × cos(0.87648855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639853621550772 × 6371000     		do = 195.387000779715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93104213-1.93109006) × cos(0.87645788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639877191046912 × 6371000     		du = 195.394198008903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87648855)-sin(0.87645788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639853621550772-0.639877191046912)×R²
    abs(1.93109006-1.93104213)×2.35694961405741e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35694961405741e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35694961405741e-05×40589641000000     		ar = 38179.0437159664m²