Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105814 / 43475
↖ ↑ ↗
← N 51.694693°
E110.626831°		 ← 189.32 m → N 51.694693°
E110.629578°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
N 51.692990°
E110.626831°		 ← 189.33 m →
35 835 m²		 N 51.692990°
E110.629578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807300567626953 y=0.331691741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807300567626953 × 217)
    floor (0.807300567626953 × 131072)
    floor (105814.5)     		tx = 105814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331691741943359 × 217)
    floor (0.331691741943359 × 131072)
    floor (43475.5)     		ty = 43475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105814 / 43475 ti = "17/105814/43475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105814/43475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105814 ÷ 217
    105814 ÷ 131072     		x = 0.807296752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43475 ÷ 217
    43475 ÷ 131072     		y = 0.331687927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807296752929688 × 2 - 1) × π
    0.614593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93080244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331687927246094 × 2 - 1) × π
    0.336624145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05753594251806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93080244} λ = 1.93080244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05753594251806))-π/2
    2×atan(2.87926756045873)-π/2
    2×1.23651946024829-π/2
    2.47303892049657-1.57079632675     		φ = 0.90224259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93080244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.626831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90224259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.694693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105814 KachelY 43475 1.93080244 0.90224259 110.626831 51.694693
    Oben rechts KachelX + 1 105815 KachelY 43475 1.93085038 0.90224259 110.629578 51.694693
    Unten links KachelX 105814 KachelY + 1 43476 1.93080244 0.90221288 110.626831 51.692990
    Unten rechts KachelX + 1 105815 KachelY + 1 43476 1.93085038 0.90221288 110.629578 51.692990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90224259-0.90221288) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90224259-0.90221288) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93080244-1.93085038) × cos(0.90224259) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.619851725546005 × 6371000     		do = 189.318671965918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93080244-1.93085038) × cos(0.90221288) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.619875039272588 × 6371000     		du = 189.325792578112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90224259)-sin(0.90221288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619851725546005-0.619875039272588)×R²
    abs(1.93085038-1.93080244)×2.33137265830408e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.33137265830408e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.33137265830408e-05×40589641000000     		ar = 35835.3683937305m²