Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105813 / 44374
↖ ↑ ↗
← N 50.138185°
E110.624085°		 ← 195.72 m → N 50.138185°
E110.626831°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
N 50.136425°
E110.624085°		 ← 195.73 m →
38 306 m²		 N 50.136425°
E110.626831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807292938232422 y=0.338550567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807292938232422 × 217)
    floor (0.807292938232422 × 131072)
    floor (105813.5)     		tx = 105813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338550567626953 × 217)
    floor (0.338550567626953 × 131072)
    floor (44374.5)     		ty = 44374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105813 / 44374 ti = "17/105813/44374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105813/44374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105813 ÷ 217
    105813 ÷ 131072     		x = 0.807289123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44374 ÷ 217
    44374 ÷ 131072     		y = 0.338546752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807289123535156 × 2 - 1) × π
    0.614578247070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.93075451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338546752929688 × 2 - 1) × π
    0.322906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01444066975963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93075451} λ = 1.93075451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01444066975963))-π/2
    2×atan(2.75782043353735)-π/2
    2×1.22293637001111-π/2
    2.44587274002223-1.57079632675     		φ = 0.87507641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93075451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.624085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87507641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.138185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105813 KachelY 44374 1.93075451 0.87507641 110.624085 50.138185
    Oben rechts KachelX + 1 105814 KachelY 44374 1.93080244 0.87507641 110.626831 50.138185
    Unten links KachelX 105813 KachelY + 1 44375 1.93075451 0.87504569 110.624085 50.136425
    Unten rechts KachelX + 1 105814 KachelY + 1 44375 1.93080244 0.87504569 110.626831 50.136425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87507641-0.87504569) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87507641-0.87504569) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93075451-1.93080244) × cos(0.87507641) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.64093820829315 × 6371000     		do = 195.718192388172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93075451-1.93080244) × cos(0.87504569) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.640961788431655 × 6371000     		du = 195.725392867134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87507641)-sin(0.87504569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64093820829315-0.640961788431655)×R²
    abs(1.93080244-1.93075451)×2.35801385052303e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.35801385052303e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.35801385052303e-05×40589641000000     		ar = 38306.1055772294m²