Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105813 / 44322
↖ ↑ ↗
← N 50.229638°
E110.624085°		 ← 195.34 m → N 50.229638°
E110.626831°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.227881°
E110.624085°		 ← 195.35 m →
38 158 m²		 N 50.227881°
E110.626831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807292938232422 y=0.338153839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807292938232422 × 217)
    floor (0.807292938232422 × 131072)
    floor (105813.5)     		tx = 105813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338153839111328 × 217)
    floor (0.338153839111328 × 131072)
    floor (44322.5)     		ty = 44322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105813 / 44322 ti = "17/105813/44322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105813/44322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105813 ÷ 217
    105813 ÷ 131072     		x = 0.807289123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44322 ÷ 217
    44322 ÷ 131072     		y = 0.338150024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807289123535156 × 2 - 1) × π
    0.614578247070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.93075451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338150024414062 × 2 - 1) × π
    0.323699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01693338853987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93075451} λ = 1.93075451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01693338853987))-π/2
    2×atan(2.76470347950948)-π/2
    2×1.2237344452641-π/2
    2.44746889052819-1.57079632675     		φ = 0.87667256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93075451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.624085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87667256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.229638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105813 KachelY 44322 1.93075451 0.87667256 110.624085 50.229638
    Oben rechts KachelX + 1 105814 KachelY 44322 1.93080244 0.87667256 110.626831 50.229638
    Unten links KachelX 105813 KachelY + 1 44323 1.93075451 0.87664190 110.624085 50.227881
    Unten rechts KachelX + 1 105814 KachelY + 1 44323 1.93080244 0.87664190 110.626831 50.227881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87667256-0.87664190) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dl = 195.334860000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87667256-0.87664190) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dr = 195.334860000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93075451-1.93080244) × cos(0.87667256) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.63971219962142 × 6371000     		do = 195.343815891377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93075451-1.93080244) × cos(0.87664190) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.639735765042348 × 6371000     		du = 195.351011876149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87667256)-sin(0.87664190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63971219962142-0.639735765042348)×R²
    abs(1.93080244-1.93075451)×2.35654209282954e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.35654209282954e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.35654209282954e-05×40589641000000     		ar = 38158.1597454259m²