Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105812 / 43479
↖ ↑ ↗
← N 51.687882°
E110.621338°		 ← 189.35 m → N 51.687882°
E110.624085°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
N 51.686179°
E110.621338°		 ← 189.35 m →
35 853 m²		 N 51.686179°
E110.624085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807285308837891 y=0.331722259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807285308837891 × 217)
    floor (0.807285308837891 × 131072)
    floor (105812.5)     		tx = 105812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331722259521484 × 217)
    floor (0.331722259521484 × 131072)
    floor (43479.5)     		ty = 43479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105812 / 43479 ti = "17/105812/43479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105812/43479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105812 ÷ 217
    105812 ÷ 131072     		x = 0.807281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43479 ÷ 217
    43479 ÷ 131072     		y = 0.331718444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807281494140625 × 2 - 1) × π
    0.61456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93070657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331718444824219 × 2 - 1) × π
    0.336563110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05734419491958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93070657} λ = 1.93070657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05734419491958))-π/2
    2×atan(2.87871552074647)-π/2
    2×1.23646002823762-π/2
    2.47292005647523-1.57079632675     		φ = 0.90212373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93070657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.621338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90212373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.687882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105812 KachelY 43479 1.93070657 0.90212373 110.621338 51.687882
    Oben rechts KachelX + 1 105813 KachelY 43479 1.93075451 0.90212373 110.624085 51.687882
    Unten links KachelX 105812 KachelY + 1 43480 1.93070657 0.90209401 110.621338 51.686179
    Unten rechts KachelX + 1 105813 KachelY + 1 43480 1.93075451 0.90209401 110.624085 51.686179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90212373-0.90209401) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90212373-0.90209401) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93070657-1.93075451) × cos(0.90212373) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.619944992862237 × 6371000     		do = 189.347158204996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93070657-1.93075451) × cos(0.90209401) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.619968312245982 × 6371000     		du = 189.354280545033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90212373)-sin(0.90209401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619944992862237-0.619968312245982)×R²
    abs(1.93075451-1.93070657)×2.33193837443357e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.33193837443357e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.33193837443357e-05×40589641000000     		ar = 35852.8240356692m²