Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105812 / 43332
↖ ↑ ↗
← N 51.937492°
E110.621338°		 ← 188.30 m → N 51.937492°
E110.624085°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 51.935799°
E110.621338°		 ← 188.31 m →
35 451 m²		 N 51.935799°
E110.624085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807285308837891 y=0.330600738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807285308837891 × 217)
    floor (0.807285308837891 × 131072)
    floor (105812.5)     		tx = 105812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330600738525391 × 217)
    floor (0.330600738525391 × 131072)
    floor (43332.5)     		ty = 43332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105812 / 43332 ti = "17/105812/43332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105812/43332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105812 ÷ 217
    105812 ÷ 131072     		x = 0.807281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43332 ÷ 217
    43332 ÷ 131072     		y = 0.330596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807281494140625 × 2 - 1) × π
    0.61456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93070657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330596923828125 × 2 - 1) × π
    0.33880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06439091916373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93070657} λ = 1.93070657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06439091916373))-π/2
    2×atan(2.89907267659195)-π/2
    2×1.23863828449154-π/2
    2.47727656898308-1.57079632675     		φ = 0.90648024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93070657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.621338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90648024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.937492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105812 KachelY 43332 1.93070657 0.90648024 110.621338 51.937492
    Oben rechts KachelX + 1 105813 KachelY 43332 1.93075451 0.90648024 110.624085 51.937492
    Unten links KachelX 105812 KachelY + 1 43333 1.93070657 0.90645069 110.621338 51.935799
    Unten rechts KachelX + 1 105813 KachelY + 1 43333 1.93075451 0.90645069 110.624085 51.935799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90648024-0.90645069) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90648024-0.90645069) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93070657-1.93075451) × cos(0.90648024) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.616520805678602 × 6371000     		do = 188.301323300532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93070657-1.93075451) × cos(0.90645069) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.616544071265526 × 6371000     		du = 188.308429209635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90648024)-sin(0.90645069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616520805678602-0.616544071265526)×R²
    abs(1.93075451-1.93070657)×2.3265586924115e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.3265586924115e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.3265586924115e-05×40589641000000     		ar = 35450.8503363056m²