Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105808 / 43472
↖ ↑ ↗
← N 51.699800°
E110.610351°		 ← 189.30 m → N 51.699800°
E110.613098°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
N 51.698098°
E110.610351°		 ← 189.30 m →
35 831 m²		 N 51.698098°
E110.613098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807254791259766 y=0.331668853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807254791259766 × 217)
    floor (0.807254791259766 × 131072)
    floor (105808.5)     		tx = 105808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331668853759766 × 217)
    floor (0.331668853759766 × 131072)
    floor (43472.5)     		ty = 43472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105808 / 43472 ti = "17/105808/43472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105808/43472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105808 ÷ 217
    105808 ÷ 131072     		x = 0.8072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43472 ÷ 217
    43472 ÷ 131072     		y = 0.3316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8072509765625 × 2 - 1) × π
    0.614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93051482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    0.336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05767975321692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93051482} λ = 1.93051482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05767975321692))-π/2
    2×atan(2.87968165971405)-π/2
    2×1.23656402838811-π/2
    2.47312805677623-1.57079632675     		φ = 0.90233173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93051482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90233173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.699800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105808 KachelY 43472 1.93051482 0.90233173 110.610351 51.699800
    Oben rechts KachelX + 1 105809 KachelY 43472 1.93056276 0.90233173 110.613098 51.699800
    Unten links KachelX 105808 KachelY + 1 43473 1.93051482 0.90230202 110.610351 51.698098
    Unten rechts KachelX + 1 105809 KachelY + 1 43473 1.93056276 0.90230202 110.613098 51.698098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90233173-0.90230202) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90233173-0.90230202) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93051482-1.93056276) × cos(0.90233173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619781773235797 × 6371000     		do = 189.297306728931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93051482-1.93056276) × cos(0.90230202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619805088603902 × 6371000     		du = 189.304427842488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90233173)-sin(0.90230202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619781773235797-0.619805088603902)×R²
    abs(1.93056276-1.93051482)×2.33153681051812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33153681051812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33153681051812e-05×40589641000000     		ar = 35831.3243775634m²