Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105804 / 43315
↖ ↑ ↗
← N 51.966269°
E110.599365°		 ← 188.18 m → N 51.966269°
E110.602112°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
N 51.964577°
E110.599365°		 ← 188.19 m →
35 404 m²		 N 51.964577°
E110.602112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807224273681641 y=0.330471038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807224273681641 × 217)
    floor (0.807224273681641 × 131072)
    floor (105804.5)     		tx = 105804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330471038818359 × 217)
    floor (0.330471038818359 × 131072)
    floor (43315.5)     		ty = 43315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105804 / 43315 ti = "17/105804/43315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105804/43315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105804 ÷ 217
    105804 ÷ 131072     		x = 0.807220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43315 ÷ 217
    43315 ÷ 131072     		y = 0.330467224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807220458984375 × 2 - 1) × π
    0.61444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93032307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330467224121094 × 2 - 1) × π
    0.339065551757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.06520584645727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93032307} λ = 1.93032307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06520584645727))-π/2
    2×atan(2.90143617295011)-π/2
    2×1.23888941372221-π/2
    2.47777882744443-1.57079632675     		φ = 0.90698250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93032307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90698250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.966269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105804 KachelY 43315 1.93032307 0.90698250 110.599365 51.966269
    Oben rechts KachelX + 1 105805 KachelY 43315 1.93037101 0.90698250 110.602112 51.966269
    Unten links KachelX 105804 KachelY + 1 43316 1.93032307 0.90695297 110.599365 51.964577
    Unten rechts KachelX + 1 105805 KachelY + 1 43316 1.93037101 0.90695297 110.602112 51.964577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90698250-0.90695297) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dl = 188.135630000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90698250-0.90695297) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dr = 188.135630000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93032307-1.93037101) × cos(0.90698250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61612527923864 × 6371000     		do = 188.180519344045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93032307-1.93037101) × cos(0.90695297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61614853822047 × 6371000     		du = 188.187623235782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90698250)-sin(0.90695297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61612527923864-0.61614853822047)×R²
    abs(1.93037101-1.93032307)×2.32589818305318e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32589818305318e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32589818305318e-05×40589641000000     		ar = 35404.128810813m²